Question

已知角AOB=90°,在∠AOB的平分线OM上有一点C,将一个三角板的直角顶点

已知角AOB=90°,在∠AOB的平分线OM上有一点C,将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB（或他们的反向延长线）相交于点D、E.
（1）当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），易证：OD+OE=根号2OC.
（2）当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段OD,OE,OC之间又有怎样的数量关系？写出你的猜想，不需证明。

Answer 1

1）CD与OA垂直时，根据勾股定理易得OC与OD、OE的关系，将所得的关系式相加即可得到答案．
（2）当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，易得△CKD ≌△CHE，进而可得出证明；判断出结果．解此题的关键是根据题意找到全等三角形或等价关系，进而得出OC与OD、OE的关系；最后转化得到结论．解答：解：（1）当CD与OA垂直时，
∵△CDO为Rt△，
∴OC= ，
∴ ，
而OD+OE=OD+OD=2OD，
∴OD+OE= ．

（2）过点C分别作CK⊥OA，CH⊥OB，
∵OM为∠AOB的角平分线，且CK⊥OA，CH⊥OB，
∴CK=CH，∠CKD=∠CHE=90°，
又∵∠1与∠2都为旋转角，
∴∠1=∠2，
∴△CKD ≌△CHE，
∴DK=EH，
∴OD+OE=OD+OH+EH=OD+OH+DK=OH+OK．
由（1）知：OH+OK= ，
∴OD+OE= ．

（图3）结论不成立．
OD，OE，OC满足 ．

Answer 2

1）当CD与OA垂直时，
∵△CDO为Rt△，
∴OC= ，
∴ ，
而OD+OE=OD+OD=2OD，
∴OD+OE= ．

（2）过点C分别作CK⊥OA，CH⊥OB，
∵OM为∠AOB的角平分线，且CK⊥OA，CH⊥OB，
∴CK=CH，∠CKD=∠CHE=90°，
又∵∠1与∠2都为旋转角，
∴∠1=∠2，
∴△CKD ≌△CHE，
∴DK=EH，
∴OD+OE=OD+OH+EH=OD+OH+DK=OH+OK．
由（1）知：OH+OK= ，
∴OD+OE= ．

（图3）结论不成立．
OD，OE，OC满足 ．

Answer 3

在图2的范围内OD+OE的和不变，OD+OE=根号2OC成立
图3的范围内OE-OD=根号2OC

Answer 4

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