Question

因式分解待定系数法

Answer 1

待定系数法因式分解定理是一种用于因式分解多项式的方法，它基于多项式的根与系数之间的关系。

1、解题思路

待定系数法是一种用于因式分解多项式的方法，其中我们假设多项式的因式可以表示为待定系数与特定项的乘积。然后通过解方程组来确定待定系数的值。

2、基本步骤

因式分解多项式f(x)=3x^2+7x+2。

按照待定系数法，可以假设f（x）可以因式分解为（ax+b）（cx+d）的形式，其中a、b、c、d是待定系数。

展开括号得到：

f(x)=(ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd

我们可以观察到，多项式f(x)=3x^2+7x+2的系数分别是ac、ad+bc和bd。

现在，我们需要通过解方程组来确定待定系数的值。将多项式的系数与我们假设的形式相比较，得到以下方程组：

ac=3

ad+bc=7

bd=2

解这个方程组，我们可以得到a=1，b=2，c=3，d=1。

3、得出结果

因此，多项式f（x）可以因式分解为（x+2）（3x+1)。

利用待定系数法因式分解定理进行因式分解的具体实例。

假设我们要因式分解多项式f(x)=x^3-7x^2+16x-12。

按照待定系数法因式分解定理，我们可以假设f（x）可以表示为以下形式的乘积：

f(x)=a(x-r1)(x-r2)(x-r3)

其中，r1、r2、r3是多项式的根，a是待定系数。

我们需要找到多项式f（x）的根。通过观察多项式的系数，我们可以猜测其中一个根本可能是1，因此我们可以使用这个猜测来进行试验。

将多项式f（x）使用综合除法除以x-1（当作一个因式），我们得到上式为x^2-6x+10。

现在我们有一个二次多项式，我们可以使用求根公式或其他方法来找到其根。假设该二次多项式的根是r2和r3。

根据待定系数法因式分解定理，我们可以写出以下方程：

(x-1)(x-r2)(x-r3)=a(x^3-7x^2+16x-12)

展开右侧的乘积，并与原多项式f（x）进行比较，我们得到以下等式：

x^3-(r2+r3)x^2+(r2r3+r3+r2)x-r2r3=ax^3-7ax^2+16ax-12a

通过比较系数，我们得到以下方程组：

(r2+r3)=-7

(r2r3+r3+r2)=16

-r2r3=-12a

现在我们需要了解这个方程组，求解待定系数a和根r2、r3的值。

假设我们求解得到r2=2，r3=3。将这些值代入第三个方程，我们可以求解得到a=1。

因此，多项式f（x）可以因式分解为（x-1）（x-2)(x-3)。