Question

一道高中数学题，设f(x)是定义在[0, 1]上的函数

满足（1）f(0)=0,f(1)=1
(2)对所有x1,x2在[0, 1],都有f((x1+x2)/2)=(1-a)f(x1)+af(x2).求：实数a，f(1/7)的值

Answer 1

解;将0作为X1,X2的值分为两次代入方程关系式得到关于a的方程组解得a=1/2.将该值代入原方程关系式，将X1,X2看作方程的的两个解，很容易看出该函数为线性函数，并且为Y=KX型，易知k=1,所以函数为F(X)=X,所以F(1/7)=1/7

Answer 2

第一问：
首先，把x1=1,x2=0带入到f((x1+x2)/2)=(1-a)f(x1)+af(x2)得：
f((x1+x2)/2)=f(0.5)=1-a
同理，把x1=0,x2=1带入到f((x1+x2)/2)=(1-a)f(x1)+af(x2)得：
f((x1+x2)/2)=f(0.5)=a
所以a=1-a
a=0.5

第二问：
根据a=0.5可知
f((x1+x2)/2)=0.5f(x1)+0.5f(x2)
这样，f(x)在[0, 1]上是一条直线，设f(x)=ax+b
把f(0)=0,f(1)=1带入得
f(x)=x
所以f(1/7)=1/7

Answer 3

（1）令x1=0,x2=1,f(1/2)=a
令x1=1,x2=0,f(1/2)=1-a
a=1/2
(2)f((x1+x2)/2)=1/2(f(x1)+f(x2)).
f(1/7)=1/2(f(0)+f(2/7))=1/2f(2/7)
f(2/7)=1/2(f(0)+f(4/7))=1/2f(4/7)
f(4/7)=1/2(f(1)+f(1/7))
即4f(1/7)=1/2(1+f(1/7))
f(1/7)=1/7

Answer 4

第一问先取x1、x2为0,1再取x1、x2为1,0联立方程即可得a为1/2。f(1/7)=1/7，这个可以用归纳法求解。
希望能够帮助到你，具体的还需要自己计算啊

Answer 5

顶楼主.0.0膜拜大神啊,谢谢.