请高手帮我下。奖高分。高二的数列题。
在数列{an}中,a1=1/2,an=(n-1/n+1)*an-1,(n≥2),求an。<减1是给n减1>。要详细过程。奖高分。!谢谢了!!!!...
在数列{an}中,a1=1/2,an=(n-1/n+1)*an-1,(n≥2),求an。< 减1 是给n 减1>。 要详细过程。奖高分。!谢谢了!!!!
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用数归法是很简单的
a1=1/2
a2=1/6
a3=1/12
a4=1/20
猜想an=1/n(n+1)
证明:①当n=1时成立;
②假设当n=k时成立,即ak=1/k(k+1),
则当n=k+1时,ak+1=[k/(k+2)]ak=1/(k+1)(k+2)=1/(k+1)[(k+1)+1]
所以当n=k+1时也成立。
综上可知,an=1/n(n+1)
或者写成an=(1/n)-[1/(n+1)]也行
a1=1/2
a2=1/6
a3=1/12
a4=1/20
猜想an=1/n(n+1)
证明:①当n=1时成立;
②假设当n=k时成立,即ak=1/k(k+1),
则当n=k+1时,ak+1=[k/(k+2)]ak=1/(k+1)(k+2)=1/(k+1)[(k+1)+1]
所以当n=k+1时也成立。
综上可知,an=1/n(n+1)
或者写成an=(1/n)-[1/(n+1)]也行
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由 an=(n-1/n+1)*a(n-1)
得 an/a(n-1)=(n-1)/(n+1)
当取 n-1,n-2,n-3,……,4,3,2时
得 a(n-1)/a(n-2)=(n-2)/n
a(n-2)/a(n-3)=(n-3)/(n-1)
a(n-3)/a(n-4)=(n-4)/(n-2)
……
a4/a3=3/5
a3/a2=2/4
a2/a1=1/3
将上列等式的等号左右分别相乘,
左边=an/a1(其余项均约去)
右边=1×2/n(n+1)(其余项均约去)
且 a1=1/2
则an=1/n(n+1)
得 an/a(n-1)=(n-1)/(n+1)
当取 n-1,n-2,n-3,……,4,3,2时
得 a(n-1)/a(n-2)=(n-2)/n
a(n-2)/a(n-3)=(n-3)/(n-1)
a(n-3)/a(n-4)=(n-4)/(n-2)
……
a4/a3=3/5
a3/a2=2/4
a2/a1=1/3
将上列等式的等号左右分别相乘,
左边=an/a1(其余项均约去)
右边=1×2/n(n+1)(其余项均约去)
且 a1=1/2
则an=1/n(n+1)
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an/a(n-1)=(n-1)/(n+1)
则a(n-1)/a(n-2)=(n-2)/n
a(n-2)/a(n-3)=(n-3)/(n-1)
……
a3/a2=2/4
a2/a1=1/3
全都乘起来,两边都约分
an/a1=1*2/n(n+1)=2/(n²+n)
a1=1/2
素an=1/(n²+n)
则a(n-1)/a(n-2)=(n-2)/n
a(n-2)/a(n-3)=(n-3)/(n-1)
……
a3/a2=2/4
a2/a1=1/3
全都乘起来,两边都约分
an/a1=1*2/n(n+1)=2/(n²+n)
a1=1/2
素an=1/(n²+n)
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