Question

已知奇函数f(x)的定义域为负无穷大到零并上零到正无穷大，且f（x）在零到正无穷大上是增函数f(1)=0

(1)求证：函数f(x)在负无穷大到零上是增函数（2）解关于x的不等式f(x)小于0

Answer 1

1）对于任意的两个大于0的数x1，x2,有f(x1)>f(x2),即f(x1)-f(x2)>0
因为x1>x2,所以-x1<-x2
因为f(x)是奇函数，所以f(-x1)=-f(x1),f(-x2)=-f(x2)
f(-x1)-f(-x2)=-f(x1)-(-f(x2))=f(x2)-f(x1)<0,即
f(-x1)<f(-x2）
所以函数f(x)在负无穷大到零上是增函数
2）因为f(1)=0，f（x）在零到正无穷大上是增函数
所以当0<x<1时 f(x)<f(1)=0
因为f(x)是奇函数，f(1)=0，
所以f(-1)=0
又因为以证明f(x)在负无穷大到零上是增函数
当x<-1时 f(x)<f(-1)=0
所以若f(x)<0,x的取值范围是x<-1或0<x<1