Question

函数问题求解

设f(A)表示整数A的整数部分的位数（例如：f(111.1)=3），现在有x1,x2都输入R+,且设f(x1)=n1,f(x2)=n2.
求证：n1+n2-1<=f(x1*x2)<=n1+n2

Answer 1

设X为任意2位数，Y为任意3位数，X、Y均是正数
所以10≤X＜100，100≤Y＜1000
所以1000≤XY＜100000所以4≤设f(XY)＜6
设X为任意3位数，Y为任意3位数，X、Y均是正数
所以100≤X＜1000，100≤Y＜1000
10000≤XY≤1000000所以5≤f(XY)＜7
所以设x1为任意(n1)位数，x2为任意(n2)位数，均有
n1+n2 -1≤f(x1*x2)＜n1+n2+1
又n1，n2均为整数，由f(x1*x2)＜n1+n2+1
→f(x1*x2)≤n1+n2
→n1+n2 -1≤f(x1*x2)≤n1+n2

Answer 2

楼上证明不具有一般性，是错误的。
证明如下：
首先f(x)=n等价于
10^(n-1)≤x<10^n x^y表示x的y次方
比如f(1111.5)=4,此时n=4，则有10^(4-1)≤1111.5<10^4
这个结论自己去证明。
下面进入正题：
f(x1)=n1,f(x2)=n2，则有
10^(n1-1)≤x1<10^n1，10^(n2-1)≤x2<10^n2
两式相乘
所以10^(n1+n2-2)≤x1x2<10^(n2+n2)
10^(n1+n2-2)≤x1x2, 所以f(x1x2)) ≥n1+n2-1（注意是≥，不一定是=）
由x1x2<10^(n2+n2)可知f(x1x2)) <n1+n2+1，所以f(x1x2)) ≤n1+n2
（最后一步也可由前面证的定理直接得到）
综上n1+n2-1≤f(x1x2)) ≤n1+n2

Answer 3

证明:设任二正整数X1,X2分别有n1位,n2位.
∴X1min=10^(n1-1),X2min=10^(n2-1)
(X1X2)min=10^(n1+n2-2)
X1max=10^n1-1,X2max=10^n2-1
(X1X2)max=(10^n1-1)(10^n1-1)<(10^n1)(10^n1)=10^(n1+n2)
所以,10^(n1+n2-2)≤X1X2≤10^(n1+n2)
又10^(n1+n2-2)有n1+n2-1位
10^(n1+n2)有n1+n2+1位
∴n1+n2-1<=f(x1*x2)<=n1+n2+1
又n1，n2均为整数，由f(x1*x2)＜n1+n2+1
f(x1*x2)≤n1+n2
n1+n2 -1≤f(x1*x2)≤n1+n2