Question

高中数学几题导数题 求详解和需要注意总结的地方

请讨论全面，最好把哪需要注意等等也提出，谢。

1。已知f(x)定义域(-2,2) 导函数为f`(x)=2+cosx 且f(0)=0 , 则满足f(1+x)+f(x-x^2)>0 的实数x的取值范围：A (-1,1) B (-1,1+根号2）C(1-根号2,1）D（1-根号2,1+根号2）

2。f(x)=1/3-lnx (x＞0) 则y=f(x)
A。在区间(1/e,1) ，(1,e)均有零点 B。在区间(1/e,1) ，(1,e)均无 C。在(1/e,1) 有，(1,e)无 D。(1/e,1)无 ，(1,e)有

3。已知f(x)=ax^3+1/2(sin@)x^2-2x+c 的图象过点（1,37/6), 且在(-2,1)内单调递减，在[1,+∞) 单调递增。
（1）求f(x)解析式
(2)若对于任意x1 , x2 属于[m,m+3] (m＞0)，不等式∣f(x1)-f(x2)∣≤45/2恒成立，试问这样的m是否存在？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由。

Answer 1

1。记住这样的结论"f(x)为奇函数则f'(x)为偶函数"
证明：只要证f'(-x)=f'(x)即可 用导数定义法
f'(x)=lim[f(x+Δx)-f(x)]/Δx
f'(-x)=lim[f(-x-Δx)-f(-x)]/-Δx
=lim[-f(x+Δx)+f(x)]/-Δx
=lim[f(x+Δx)-f(x)]/Δx=f'(x) 得证
同样可以证明"f'(x)为偶函数则f(x)为奇函数"

f'(x)=2+cosx>0是偶函数
则f(x)是[-2,2]上单调递增的奇函数
由f(1+x)+f(x-x²)>0
得f(1+x)>f(x²-x)
解1+x>x²-x
即x²-2x-1<0
再考虑定义域得(1-√2,1)

2。D
f(1/e)>0,f(1)>0,f(e)<0 用零点定理判断

3。这里直接复制了别人的成果

（1）
f(x)在（-2,1）内单调递减,在[1,+∞)上单调递增。
所以x=1是f(x)的极值点，所以f(x)的导数当x=1时为0。
f（x）的导数为
f'(x)=3 a x^2+ (sin θ)x-2
所以f'（1）=0
f'(1)=3 a+ (sin θ)-2
得到 a=(2-sin θ)/3
故f'(x)=(2-sin θ) x^2+ (sin θ)x-2

因为f(x)在（-2,1）内单调递减,在[1,+∞)上单调递增，
方程f'(x)=0的另一个根一定小于等于-2
(2-sin θ) x^2+ (sin θ)x-2=0
得到x=1 或者 x=2/（sin θ-2）
所以-2/（sin θ-2）<=-2 (<= 表示小于等于)
所以sin θ-2>=-1
sin θ>=1
sin θ不能大于1，所以sin θ=1.

所以a=1/3
sin θ=1
所以 f(x)=1/3 x^3+1/2 x^2-2x+c

因为f(x)过点(1,37/6),所以f(1)=37/6
1/3 +1/2-2+c=37/6
c=37/6-1/3-1/2+2=22/3

所以 f(x)=1/3 x^3+1/2 x^2-2x+22/3

（2）由上一部份中导数的计算得知，函数f(x)得导数
f'(x)= x^2+x-2
当x>1时f'(x)>0
当-2<x<1时f'(x)<0
当x<-2时f'(x)>0
所以x=-2和x=1是函数的两个极值点。

分情况讨论
1）当m>=1或者m<=-5时，函数在[m,m+3]上单调增加，所以
|f(x1)-f(x2)|<=f(m+3)-f(m)
所以只要f(m+3)-f(m)<=45/2，则|f(x1)-f(x2)|<=45/2。
f(m+3)-f(m)=3(m^2+4m+5/2)=3(m+2)^2-9/2<=45/2
3(m+2)^2<=27
(m+2)^2<=9
-5<=m<=1
这个范围不在假设的区间里，所以不保留。

2）-5<=m<=-2，函数在[m,m+3]在x=-2时有最大值f（-2）=32/3
所以只要f(-2)-f(m+3)<=45/2且f(-2)-f(m)<=45/2，则|f(x1)-f(x2)|<=45/2
f(-2)-f(m+3)=-(1/6) (5 + m)^2 (1 + 2 m)
f(-2)-f(m+3)=-(1/6) (2 + m)^2 (-5 + 2 m)
容易验证，f(-2)-f(m+3)<=45/2且f(-2)-f(m)<=45/2在-5<=m<=-2上恒成立。
所以-5<=m<=-2时|f(x1)-f(x2)|<=45/2

3）-2<=m<=1函数在[m,m+3]在x=-2时有最小值f（1）=37/6
所以f(m+3)-f(1)<=45/2且f(m)-f(1)<=45/2，则|f(x1)-f(x2)|<=45/2
容易验证，f(m+3)-f(1)<=45/2且f(m)-f(1)<=45/2在-2<=m<=1上恒成立。
所以-2<=m<=1时|f(x1)-f(x2)|<=45/2

综上所述，-5<=m<=1时不等式|f(x1)-f(x2)|<=45/2恒成立。