Question

急，求解一道导数题

设x=φ(y)是y=f(x)的反函数，试问如何由f',f'',f'''算出φ'''(y)?
就是用f',f'',f'''表示φ'''(y)

Answer 1

这个引理还是要用的
φ'(y）=1/f'
证明如下：
y=f(x)
dy/dx=df(x)/dx=f'
x=φ(y)
dx/dy=dφ(y)/dy=φ'(y)
得证。

φ'''(y)
=dφ''(y)/dy

求dφ''(y)
φ'(y）=1/f'
φ''(y)=dφ'(y)/dy
=d(1/f')/dy
=(-f''/f'^2)dx/dy
=(-f''/f'^2)/f'
=(-f''/f'^3)
(d(1/f')=(-f''/f'^2)dx,主要是这个，譬如说f(y)=2x,则，df(y)=2dx)

所以dφ''(y)
=d(-f''/f'^3)
=[（3f''-f'''f'）/(f'(x))^5]dy

所以φ'''(y)
=dφ''(y)/dy
=（3f''-f'''f'）/(f'(x))^5

Answer 2

f=f(φ(y))
f′=φ'(y)f'
f''=φ''(y)f'+φ'(y)f''
f'''=φ'''(y)f'+φ''(y)f''+φ''(y)f''+φ''(y)f'''