Question

初二数学3道题，请帮忙解答，要过程和思路。急……

1、在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CM⊥AB，且AB+AD=2AM。求证：∠B+∠D=180°
2、AD‖BC，BC=DC，CF平分∠BCE，DF‖AB，BF的延长线交DC于点E。求证：AD=DE
3、AB=CD，AD=BC。
（1）如图，如果DE=BF，求证：∠E=∠F。
（2）如图，O为AC中点，求∠AMO与∠CNO的关系。
（3）如果将MN旋转至图（2）（3），其他条件不变，（2）题的结论还成立么?

Answer 1

1.
作CN垂直AD（延长线），垂足为N
由于AC是角平分线，所以CM=CN（垂直）
AM=AN（很多方法都可以，最简单的是全等）

已知AB+AD=2AM，所以
AB+AD=AM+AN——>AB-AM=AN-AD画个图的话很容易看出来，实际就是BM=DN
下一步证明三角形CMB、CND全等（直角三角形，斜边直角边）
所以角CBM=CDN
图中显然有角CDN+CDA=180度所以CBM+CDA=180度也就是说角B、D之和为180度

2.
作FG平行AD，交AB于G
容易知道FG其实与AD、BC都是平行的。
所以角CBF=GFB （1）且四边形ADFG是平行四边形

因为BC=DC且CF平分∠BCE
所以三角形CFD、CFB全等。（两边加一角）
所以角CDF=CBF （2）、BF=DF （3）
由（1）（2）可知角CDF=GFB（4）

由于DF平行AG所以角DFE=ABE（5）
由（3）（4）（5）可证三角形FDE、BFG全等
所以DE=FG

平行四边形ADFG中，AD=FG
所以DE=AD

3.（1）首先ABCD是个平行四边形（可以证明看看）
所以AB平行CD
加上DE=BF
所以四边形BFDE是个平行四边形
所以BE平行FD
所以角E=FDC＝F

Answer 2

1.在AM上作AT=AD
则AB+AD=AB+AT=AM+MB+AM-MT=2AM
得MB=MT
又MC垂直于TB
所以CM=CB
∠MTC=∠B
∠B+∠ATC=180°
因为AC=AC
∠CAT=∠CAD
AD=AT
所以三角形ACD与ATD全等
所以∠ATC=∠D
∠B+∠D=180°