Question

已知函数f（x）对任意的x,y∈R。总有f(x)+f（y）=f（x+y），且当x>0时,f(x)<0,f(-1)=2

(1)求证:f(x)是奇函数，（2）f（x）在R上是减函数，（3）求函数f(x)在区间【-3，3】上的最大和最小值。

Answer 1

第一问
已知f(x+y)=f(x)+f(y)

∴令x=y=0，得f(0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0

令y=-x，得f(x-x)=f(x)+f(-x)，即f(-x)=-f(x)
所以奇函数
第二问设存在x1，x2∈R且x2>x1

x2>x1，可设x2=x1+△x，其中△x>0

则f(x2)-f(x1)=f(x1+△x)-f(x1)=f(x1)+f(△x)-f(x1)=f(△x)

∵△x>0，∴f(△x)<0

即f(x2)-f(x1)<0，f(x1)>f(x2)

∴f(x)为R上的减函数

第三问解：由第二问可得f(x)为R上的减函数
故在[-3,3]上，f(x)max=f(-3),f(x)min=f(3).由f(x+y)=f(x)+f(y)及f(1)=-2,可求得f(2)=f(1+1)=2f(1)=-4,f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=-6,f(-3)=-f(3)=6,故在[-3,3]上，f(x)max=f(-3)=6,f(x)min=f(3)=-6.

Answer 2

（1）设在R上任意取两个数m，n且m＞n
则f（m）-f（n）=f（m-n）
∵m＞n∴m-n＞0
而x＞0时，f（x）＜0则f（m-n）＜0
即f（m）＜f（n）
∴f（x）为减函数；

（2）由（1）可知f（x）max=f（-3），f（x）min=f（3）．
∵f（x）+f（y）=f（x+y），令x=y=0
∴f（0）=0
令y=-x得f（x）+f（-x）=f（0）=0即f（-x）=-f（x）
∴f（x）是奇函数
而f（3）=f（1）+f（2）=3f（1）=-2，则f（-3）=2
∴f（x）max=f（-3）=2，f（x）min=f（3）=-2．

Answer 3

第一问,己知条件是奇函数,所以-f(x)=f(-x),对吧。我们可设x=0 y=-1,是不是可以解得f(0)=0啊。那么我们再设x=1 y=-1是不是可得f(0)=f(1)+f(-1)啊,是不是可得-f(1)=f(-1)即符合奇函数定理。第二问已知f(-1)=2,所以f(1)=2，对吧。那么我们再设x1<x2<=0和0<=x1<x2 x1,x2

Answer 4

已经是很老的题目拉