Question

一数学证明题

对于任意实数x.y都有x^4+y^4大于等于xy(x+y)^2/2
各位大侠帮帮忙.谢谢!

Answer 1

因为a^2+b^2≥(a+b)^2/2,所以

x^4+y^4≥(x^2+y^2)^2/2=(x^2+y^2)*(x^2+y^2)/2≥2xy*(x+y)^2/4=xy(x+y)^2/2

Answer 2

将大于等于号右边的数移到左边 证明这个式子大于等于0
2*x^4+2*y^4-x^3*y-y^3*x-2*x^2*y^2=
化简可得(x-y)^2*(x^2+x*y+y^2)+(x^2-y^2)^2
由于x^2+x*y+y^2可以化成(x+y/2)^2+3/4*y^2恒大于0
2个平方项恒大于0
所以上述等式恒大于0
证毕。