Question

已知函数f(x)是定义在实数集R上恒不为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x+1)=(1+x)f(x) 则f[f(5/2)]值为

Answer 1

题目中“恒不为零”应改为“不恒为零”

在恒等式xf(x+1)=(1+x)f(x)，x∈R中，
令x=0，得f(0)=0；

当x≠0且x≠±1时，恒等式可化为f(x+1)/(x+1)=f(x)/x，
设F(x)= f(x)/x，则F(x+1)=F(x)，即函数F(x)的周期为1；

又f(x)为偶函数，∴F(x)为奇函数；

由周期为1可知，F(5/2)=F(1+3/2)=F(3/2)=F(1+1/2)=F(1/2)=F(1-1/2)=F(-1/2)，
即F(5/2)=F(1/2)= F(-1/2)，
由F(x)为奇函数可知，F(-1/2)=F-(1/2)，
∴F(5/2)=F(1/2)= F(-1/2)=0，即f(5/2)/(5/2)=0，
∴f(5/2)=0，f(f(5/2))=f(0)=0.

Answer 2

取X= --0.5 则有 --0.5*f(0.5)=0.5*f( --0.5)

又偶函数 则f(0.5)=f( --0.5)

两式联立 有f(0.5)=0

再取X=0.5 得f(1.5)=0

再取X=1.5 得f(2.5)=0

故f(f(2/5))=f(0)

再取X=0 则有0*f(1)=1*f(0) 得f(0)=0

故f(f(2/5))=0

Answer 3

3/2*f(5/2)=5/2*f(3/2) => f(5/2)=5/3*f(3/2)
1/2*f(3/2)=3/2*f(1/2) => f(3/2)=3*f(1/2)
-1/2*f(1/2)=1/2*f(-1/2) f(x)为偶函数 f(1/2)=f(-1/2) => f(1/2)=0 => f(5/2)=0
-1*f(0)=0*f(-1) => f(0)=0
f[f(5/2)]=0