Question

已知数列{a}的前n项和为Sn,且an+Sn=4,求证{a}是等比数列

已知数列{a}的前n项和为Sn,且an+Sn=4,求证{a}是等比数列 这题目有问题吗 ？？？怎么写
哦!!!第二问这个 是否存在正整数k，使(Sk+1-2)/(Sk-2)>2成立？其中k+1和k都是下标。谢谢!!!

Answer 1

An+Sn=4

A(n-1)+S(n-1)=4

S(n-1)=Sn-An

三式联立得到

A(n)/A(n-1)=1/2

1/2为常数，所以数列是等比数列

a1+s1=a1+a1=4,a1=2

S(k+1)-2=[1-(1/2)^(k+1)]*2/(1-1/2)-2=2-2^(1-k)

Sk-2=[1-(1/2)^k]*2/(1-1/2)-2=2-2^(2-k)

[S(k+1)-2]/[S(k)-2]
=[1-2^(-k)]/[1-2^(1-k)]
>2

1-2^(-k)>2-2^(2-k)=2-4*2^(-k)
3*2^(-k)>1

k只能为1

因为S1=a1=2,S1-2=0

所以不存在这样的正整数k

Answer 2

没问题啊
令n=1,a1=2;
a[n]+S[n]=4
a[n+1]+S[n+1]=4
2式相减得
a[n+1]/a[n]=1/2
学过无穷级数就知道
等比数列的无穷项和是可求的
所以Sn=某一个常数很正常。