Question

已知f(x)是偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,判断f(x)在(-∞,0)上是增函数还是减函数，并加以证明。

请用高一的解法

Answer 1

已知f(x)是偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,判断f(x)在(-∞,0)上是增函数还是减函数，并加以证明。
【解】：f(x)是偶函数，f(x)=f(-x)
当x>0,f(x)为减函数
f(x)<f(0)

当-x<0,f(-x)<f(0)
f(-x)为增函数
所以：f(x)在(-∞,0)上是增函数

【注】规律：偶函数在对称区间的单调性相反

Answer 2

增函数，
证明：
f(x)在(0,+∞)上是减函数，对任意x1>x2>0,f(x1)<f(x2)
又f(x)是偶函数，所以f(-x1)<f(-x2)
而-x1<-x2
由于x1,x2的任意性 得证