Question

已知函数f（x）是偶函数而且在（0，+∞）上是减函数，判断f（x）在（-∞，0）上是增函数还是减函数 并证明

Answer 1

判断：f（x）在（-∞，0）上是增函数
证明： 取任意 x1 < x2 < 0
则 -x1 > -x2 > 0
因为在（0，+∞）上是减函数
所以 f(-x1) < f(-x2)
因为 f（x）是偶函数
所以 f(-x1) = f(x1) , f(-x2) = f(x2)
所以 f(x1) < f(x2)
所以 f（x）在（-∞，0）上是增函数

Answer 2

证明：设x1<x2<0，则
-x1>-x2>0
∵f（x）是偶函数而且在（0，+∞）上是减函数
∴f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2)
f(-x1)<f(-x2)
∴f(x1)<f(x2)
∴f（x）在（-∞，0）上是增函数

Answer 3

设X1<X2<0
所以-X1>-X2>0
因为在（0,正无穷大）上是减函数
f(-x1)<f(-x2)
又因为函数为偶函数
f(-x1)=f(x1)
f(-x2)=f(x2)
所以f(x1)<f(x2)
对任意实数在区间（负无穷大，0）上为增函数。

Answer 4

x1<x2<0 -x1>-x2>0 f（x）是偶函数而且在（0，+∞）上是减函数，

f(-x1)<f(-x2) f(x1)<f(x2) 又单调性定义可知

f（x）在（-∞，0）上是增函数

Answer 5

因为偶函数关于y轴对称，因此在（0，+∞）上是减函数，那么在（-∞，0）上必然是增函数。这个是根据偶函数性质得来的。