Question

若f（x）是定义在R上的奇函数，且对于任意实数x都有f（x+2）=f（x）成立，则f（1）+f（2）+f（3）...

若f（x）是定义在R上的奇函数，且对于任意实数x都有f（x+2）=f（x）成立，则f（1）+f（2）+f（3）...+f(2007)的值等于______。

Answer 1

f(x)是奇函数则f(0)=0
f(x+2)=f(x)
f(2)=f(0)=0
f(1)=f(-1)=-f(1)
所以f(1)=0
f(3)=f(1)=0
f(4)=f(2)=0
所以f（1）+f（2）+f（3）...+f(2007)=0

Answer 2

函数定义在R上，且为奇函数，因此函数图象必过原点。
f(0)=0,f(x+2)=f(x),则f(0)=f(2)=f(4)=......f(2006)
且根据函数是奇函数f(-1)=-f(1),又有f(1)=f(-1+2)=f(-1)
f(-1)=-f(-1),因此f(-1)=0,f(1)=f(3)=......f(2007)=f(-1)=0
原式各项都为0，所以和为0