Question

设f(x)是定义域在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x+2)=-f(x).当x属于[0，2]时

设f(x)是定义域在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x+2)=-f(x).当x属于[0，2]时，f(x)=2x-x^2.
(1)求函数是周期函数。
解:因为f(x+2)=-f(x)
所以f(x+4)=-f(x+2)
所以f(x+4)=f(x)
所以函数周期为4

（2）当x∈【2，4】时，求f(x）的解析式（3）计算f(0)+f(1)+f(2)+......+f(2008)

函数周期性没听懂，求讲!!

尤其是(1)，怎么一下从正变成负了!?2变成4了。数学不好，求详解!

Answer 1

1、
已知f(x+2)=-f(x)
所以，f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)【把这里的x+2看做是上式中的x】=f(x)
所以，f(x)是以4为周期的函数

2、
当x∈[0,2]时，f(x)=2x-x^2
那么，当x∈[-2,0]时，-x∈[0,2]
所以，f(-x)=2*(-x)-(-x)^2=-2x-x^2
而f(-x)=-f(x)
所以，f(x)=-f(-x)=x^2+2x
即，
……{x^2+2x（x∈[-2,0]）
f(x)={
……{-x^2+2x（x∈[0,2]）
又，当x∈[2,4]时，x-4∈[-2,0]
所以，f(x-4)=(x-4)^2+2*(x-4)=x^2-8x+16+2x-8=x^2-6x+8
而，f(x-4)=f(x)
所以，当x∈[2,4]时，f(x)=x^2-6x+8

3、
由表达式有：
f(0)=0，f(1)=1，f(2)=0，f(3)=f(-1)=-1……
所以，在每一个周期内，f(x)的函数值之和为零
所以，原式=[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]+[f(4)+f(5)+f(6)+f(7)]+……+[f(2004)+f(2005)+f(2006)+f(2007)]+f(2008)
=0+f(2008)
=f(0+4*502)
=f(0)
=0

Answer 2

这里的X是不一样的，在f（x+2）=f（x）中，令x=x+2带入到f(x+2)=-f(x)中，就可以得到f(（x+2）+2)=-f(x+2)，即f(x+4)=-f(x+2)，然后f(x+4)=-f(x+2)=f（x）就可以知道f(x+4)=f(x)了

像做这种抽象周期函数的题目，只能把x 当成一个数，而一个数可以代表很多内容，向这里的X 就可以代表X+2
望君满意~求采纳

Answer 3

我才小学。。。。。。