Question

高一数学图形题

已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且CF/CB=CG/CD=2/3。求证EF、GH、AC交与一点。

Answer 1

证明：∵空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，
CF/CB=CG/CD=2/3
在⊿ABC中AE/AB=1/2<CF/BC=2/3,∴FE延长线与CA延长线交于一点T1
在⊿ADC中AH/AD=1/2<CG/CD=2/3,∴GH延长线与CA延长线交于一点T2
又面ABC∩面ADC于直线CA，∴T1，T2在同一直线CA上
在⊿ABD中EH//BD且EH=1/2BD，在⊿BDC中GF//BD,且GF=2/3BD
∴EH//GF,且EH=3/4GF
∴EH、GF在同一平面内，即FE、GH在同一平面内
也即，FE的延长线与GH的延长线必交于一点T
∴面ABC∩面ADC于AC，面ABC∩面EFGH于EF，面ADC∩面EFGH于GH，
三面必交于一点，即T、T1、T2必重合于此点。
∴EF、GH、AC交与一点。