Question

求线性代数线性相关性的一个定理证明

定理：若向量组a1,a2,……，as可由向量组b1，b2，……，bt线性表出，且s>t,则a1,a2,……，as线性相关。
这个定理是如何证明的呢

Answer 1

假设向量都是n维的，即每个向量有n个分量

向量组a1,a2,……，as可由向量组b1，b2，……，bt线性表出
则有关系：
A=BK
其中A=[a1 a2 … as]是n行s列的矩阵,B=[b1 b2 … bt]是n行t列矩阵
K为表示系数矩阵，是t行s列的，
K的第i列就是A的第i列被b1，b2，…，bt线性表出时的t个表示系数，
即ai=k1i×b1 + k2i×b2 + k3i×b3 + ...+ kti×bt

考虑线性方程组Kx=0，其中x=(x1,x2,...,xs)的转置
因为秩(K)<=t<s，说明齐次线性方程组Kx=0的系数矩阵的秩小于未知数的个数s
说明该方程组有非零解，不妨设此非零解为x0=(x01,x02,...,x0s)，它满足
Kx0=0

上式等号两边同时左乘B,得到
BKx0=0,即Ax0=0

说明x0是齐次方程组Ax=0的非零解
即0=[a1 a2 … as]左乘(x01,x02,...,x0s)的转置
=x01×a1 + x02×a2 + 。。。+ x0s×as

x0i中至少有一个非零数，根据线性相关定义，知道

a1,a2,…，as线性相关。