Question

四棱锥P-ABCD中PA⊥底面ABCD,AB‖CD,AD=CD=1,∠BAD=120°,PA=根号3,∠ACB=90°BC⊥平面PAC,求二面角D-PC-A

四棱锥P-ABCD中PA⊥底面ABCD,AB‖CD,AD=CD=1,∠BAD=120°,PA=根号3,∠ACB=90°BC⊥平面PAC,求二面角D-PC-A的正切值

Answer 1

首先观察底面图形，AB‖CD,AD=CD=1,∠BAD=120°,

则〈ADC=60度，△ADC是正△，

AC=1，

∠ACB=90°，〈CAB=120度-60度=60度，〈B=30度，

AB=2AC=2，BC=√3,

PA⊥底面ABCD，故PA垂直平面ABCD上的直线，

三角形PAB是直角三角形，根据勾股定理，PB=√7，

三角形PCB是直角三角形PC=2，

三角形PAD是直角三角形，PD=2，

PA⊥平面ABCD，PA∈平面PAC，

故平面PAC⊥平面ABCD，

取AC的中点E，连结DE、PE，则DE⊥AC，

则DE⊥平面PAC，（两个平面相垂直，若一个平面内直线垂直交线，必垂直另一个平面），

△PEC是△PDC在平面APC上的投影，

S△PEC=S△PAC/2=（PA*AC/2）/2=√3*1/2/2=√3/4，

PD=PC=2，△PDC是等腰△，作PF⊥DC，DF=1/2，PF=√（PD^2-DF^2）=√15/2，

S△PDC=CD*PF/2=1*√15/2/2=√15/4,

设D-PC-A二面角的平面角为θ，

则S△PCD*cosθ=S△PCE,

(√15/4)*cosθ=√3/4,

cosθ=1/√5,

sinθ=√[1-(cosθ)^2]=2/√5

tanθ=sinθ/cosθ=2.

∴ 二面角D-PC-A的正切值为2.