Question

在数列{an}中,已知a1=1/4,a(n+1)/an=1/4,bn+2=3log(1/4)an(n∈N*)

（1）求数列{an}的通项公式
（2）求证：数列{bn}是等差数列
（3）设数列{cn}满足cn=an*bn，求{cn}的前n项和Sn

Answer 1

（1）由已知a1=1\4,a(n+1)\an=1\4，所以可以得出an是等比数列，以1\4为首相，公比为1\4,带入
an=(1\4)^n(n＞0)
（2）由（1）得an带入bn，bn=3n-2，所以bn为等差数列

（3）Sn=an*bn=(1\4)^n*(3n-2),将1带入，一个一个列出来（具体我懒得算了）
Sn=(1\4)^1*(3*1-2)+(1\4)^2*(3*2-2)……+(1\4)^n*(3n-2)
Sn=1/4+4×(1/4)^2+7×(1/4)^3……+(3n-2)×(1/4)^n
Sn/4= (1/4)^2+4×(1/4)^3……+(3n-5)×(1/4)^n+(3n-2)(1/4)^(n+1)
上下两式相减得（错位相减法）:
3Sn/4=1/4+3×(1/4)^2+3×(1/4)^3+……+3×(1/4)^n －(3n-2)(1/4)^(n+1) （中间用等比数列求和）
＝1/4 +1-(1/4)^n－(3n-2)(1/4)(n+1)
3Sn=5-(3n+2)×(1/4)^n
所以，Sn=[5-(3n+2)×(1/4)^n]/3