Question

数学难题。。哪位高手帮忙解一下。。要详细过程

已知函数g(x)=kx+b(k不等于0），当x不属于【-1，-1】时，g(x）的最大值2，又f(x)=2x+3,是否存在常数k，b使得f[g(x)]=g[f(x)]对任意的x恒成立，如果存在求kb的值，不存在请说明理由

Answer 1

f[g(x)]=2(kx+b)+3,g[f(x)]=k(2x+3)+b

f[g(x)]=g[f(x)]对任意的x恒成立，则2(kx+b)+3=k(2x+3)+b即b=3k-3

g(x)=kx+b=g(x)=kx+3k-3

g(1)=k+3k-3=4k-3

g(-1)=-k+3k-3=2k-3

当k>0时，g(x)在x∈[-1，1]上单调递增，最大值为g（1），最小值为g（-1）

所以g（1）-g（-1）=2k=2，得k=1

当k<0时，g(x)在x∈[-1，1]上单调递减，最大值为g（-1），最小值为g（1）

所以g（-1）-g（1）=-2k=2，得k=-1

所以当k=1时，b=0，当k=-1时，b=-6