Question

如图所示，D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且BF=CE。（1）求证：△ABC是等腰三角

如图所示，D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且BF=CE。（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）当∠A=90°时，试判断四边形AFDE是什么形状的四边形。

Answer 1

(1)DE⊥AC，DF⊥AB，BF=CE
又∵D是BC的中点
cos∠DBF=BF/BD, cos∠DCE=CE/DC
∴∠DBF=∠DCE
即∠ABC=∠ACB
∴△ABC为等腰三角形
（2）∠A=90°，DE⊥AC，DF⊥AB
∴AF‖DE，AE‖DF
∴四边形AFDE是矩形
AF=AB-BF,AE=AC-CE （由（1）知AB=AC）
∴AF=AE
∴四边形AFDE是正方形

Answer 2

1.连接AD
∵DF⊥AB,DE⊥AC
D为BC中点
∴△DFB全等于△DEC
∴DF=DE
∴AD为∠BAC的角平分线
根据等腰三角形三线合一
可知△ABC为等腰三角形
2.当∠A=90°时，△ABC为等腰直角三角形
∴∠FDB=90°
四边形AFDE为矩形
又∵AF=AE
∴四边形AFDE为正方形