Question

已知函数f(x)=(x^2+2x+a)/x,x∈[1,+∞). (1)当a=0.5时，求函数f(x)的最小值 (2)若对任意

已知函数f(x)=(x^2+2x+a)/x,x∈[1,+∞).
(1)当a=0.5时，求函数f(x)的最小值
(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围。
写明详细过程谢谢

Answer 1

设y=f(x)=(x^2+2x+a)/x,x∈[1,+∞)
所以有yx=x^2+2x+a，整理出x^2+（2-y）x+a=0
把x^2+（2-y）x+a=0看做关于x的一元二次方程。要使方程有解，其判别式（2-y)^2-4a大于或等于0，其解x1=[(y-2)+根号[（2-y)^2-4a]/2,x2=[(y-2)-根号[（2-y)^2-4a]/2
（2-y)^2-4a=y^2-4y+4(1-a)
当a=0.5时，解y^2-4y+4(1-a)大于或等于0的不等式
y大于或等于2+根号2和y小于或等于2-根号2两组解
方程的解x1=[(y-2)+根号[（2-y)^2-2]/2
x2=[(y-2)-根号[（2-y)^2-2]/2
由于x∈[1,+∞)，x2=[(y-2)-根号[（2-y)^2-2]/2又小于0，所以x2的解不存在
故只存在x1=[(y-2)+根号[（2-y)^2-2]/2
结合上面求得y大于或等于2+根号2和y小于或等于2-根号2