Question

求函数的解析式

设f（x）是R上的函数，且满足f（0）=1，并且对任意实数x，y，有f（x-y）=f（x)-y(2x-y+1),求f（x）的解析式。要有详细步骤。

Answer 1

由题意可知

f(x)=f(x-y)+y(2x-y+1)

∴f(x)=f(x-y)+2xy-y2+y

令x=y

则 f(x)=f(x-x)+2x2-x2+x

f(x)=f(0)+x2+x

又有f(0)=1

f(x)=1+x2+x

∴f(x)=x2+x+1为所求

以上
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Answer 2

由题意可知

f(x)=f(x-y)+y(2x-y+1)

∴f(x)=f(x-y)+2xy-y2+y

令x=y

则 f(x)=f(x-x)+2x2-x2+x

f(x)=f(0)+x2+x

又有f(0)=1

f(x)=1+x2+x

∴f(x)=x2+x+1为所求