Question

高三数学《导数应用》

1、设f（x）=ax^3+x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。
2、当x>0时，求证：x-x^2/2<ln（1+x）

Answer 1

1。f(x)在R上连续，所以由已知得f'(x)=3ax^2+1中有两个零点，
判别式=-12a＞0，因此a的范围是（负无穷，0）
f'(x)＞0解集为（-根号-1/3a, 根号-1/3a）,
f'(x)＜0解集为（负无穷，-根号-1/3a），（ 根号-1/3a，正无穷）,
因此单调增区间为（-根号-1/3a, 根号-1/3a）
单调减区间为（负无穷，-根号-1/3a），（ 根号-1/3a，正无穷）
2。构造函数
g(x)=x-x^2/2-ln（1+x）
求导得到g'(x)=1- x - 1/1+x =-x^2 /1+x
当x>0时,g'(x)＜0恒成立，因此g(x)在（0，正无穷）上单调递减
所以当x>0时,g(x)＜g(0)=0
因此x-x^2/2<ln（1+x）
注意第二问构造函数的时候千万不要对构造函数加上x>0的限制

Answer 2

第一问：首先讨论a是否等于0 若为0则f（x）=x 显然不符合题意。故a不为0。
对f（x)求导 导数等于3ax^2+1 显然a>0也不成立 因为这样就单增，不符题意。故a<0 即a的取值范围是a<0 单调区间就根据在A<0的情况下令导数等于0解出的两个值就是极点
第二问：令F（x）=x-x^2/2-ln（1+x） 由于都是基本初等函数 那么F(x)一定是可导的 求导可得 F’（x）=1-x-1/(1+x) =-x^2/(1+x)<0恒成立 那么F（x）《F（0）也恒成立 而F（0）=0 故F（x）=x-x^2/2-ln（1+x）《0 成立 即
x-x^2/2<ln（1+x）
希望能帮到你！