Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c（a不等于0）满足如下条件 ：

f(x)图像经过原点 ;f(-x-2002)=f(x-2000) 方程f(x)=x有重根
（1）求函数f(x)的解析式 （2）是佛存在实数m,n(m<n),使定义域和值域分别是[m,n]和
[3m,3n]。若存在求出m,n 。若不存在，说明理由

Answer 1

(1)解:
因为过原点,所以c=0
f(-x-2002)=a(x+2002)²-b(x+2002)
f(x-2000)=a(x-2000)²+b(x-2000)
∴a(x+2002)²-b(x+2002)=a(x-2000)²+b(x-2000)
∴b=4002a
∴f(x)=ax²+4002ax
令f(x)=x,即ax²+4002ax=x,即x(ax+4002a-1)=0,即x=0,x=1/a-4002
∵有重根,所以1/a-4002=0,即a=1/4002
∴f(x)=x²/4002+x

(2)解:
f(x)的对称轴是x=-2001
①当x=2001在[m,n]内时,fmin=f(2001)=6003/2,令3m=6003/2,则m=2001/2.
令fmax=f(n)=n²/4002+n=3n,则n=0或者n=8004
又因为n>2001,所以n=8004
即m=2001/2,n=8004
②当x=2001在[m,n]左侧时,fmin=f(m)=m²/4002+m=3m,m=0或者m=8004
∵m>2001,∴m=8004
同理,n=8004,所以m=n,与已知m<n矛盾,舍去
③当x=2001在[m,n]右侧时
同上理,m=n=0,舍去
∴综上所述:
m=2001/2,n=8004