Question

对称矩阵，合同一定相似吗？

如果实对称矩阵A和B合同，那么A,B相似吗？最好有证明过程，谢谢。

Answer 1

未必，只需要给举个反例就行。

对角矩阵diag(3,3,3)合同于单位矩阵，而单位矩阵只能和单位矩阵相似，显然diag(3,3,3)不相似于单位矩阵。

合同与相似是特殊的等价关系，若两个矩阵相似或合同，则这两个矩阵一定等价，反之不成立。相似与合同不能互相推导，但是如果两个实对称矩阵是相似的，那肯定是合同的。 

两矩阵合同的概念：设A,B是两个n阶方阵，若存在可逆矩阵C，使得C^TAC=B，则称方阵A与B合同，记作 A≃B。

两矩阵相似的概念：设A/B为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵P存在，使得P^(-1)AP=B，则称矩阵A与B相似，记为A~B。

扩展资料：

把一个m×n矩阵的行，列互换得到的n×m矩阵，称为A的转置矩阵，记为A'或AT。

矩阵转置的运算律(即性质)：

(A')'=A

(A+B)'=A'+B'

(kA)'=kA'(k为实数)

(AB)'=B'A'

若矩阵A满足条件A=A'，则称A为对称矩阵。由定义知对称矩阵一定是方阵，而且位于主对角线对称位置上的元素必对应相等，即aij=aji对任意i,j都成立。

参考资料来源：百度百科-对称矩阵

Answer 2

未必，只需要给你举个反例就行了。对角矩阵diag(3,3,3)合同于单位矩阵，而单位矩阵只能和单位矩阵相似，显然diag(3,3,3)不相似于单位矩阵。

Answer 3

1.前提：首先大前提，实对称矩阵。非实对称矩阵，合同相似没有关系。这是因为实对称一定能相似对角化，而下面分析就是在对角阵下分析。
2.具体分析：合同是在二次型那块引出的，实对称矩阵通过相似对角化一般只能化为标准型，但是通过可逆线性变换就能变为规范型，即合同的矩阵最后都能化为主对角线为1,0,-1的形式，即合同只区分正负惯性指数；而相似则以特征值是否相同进行区分。等价表示PAQ=B，相似表示P‘AP=B，合同P^AP=B(P,Q均为可逆矩阵P‘表示P的逆,P^表示P的转置,手机上不太好打字)
3.结论及简单理解：可以简单理解为：相似是指特征值λ相同，合同是指特征值中的正的负的个数相同(即正负惯性指数相同)