Question

求数列{n!/n^n}的极限

可不可以用夹挤定理来求啊？
0 < n!/n^n < 1/n ,而{1/n}的极限是0，所以根据夹挤定理，{n!/n^n}的极限是0。这样做有什么不妥的地方吗？有本参考书上就是这样写的。

Answer 1

n!/n^n>0
n!/n^n≤[(1/n+2/n+...+n/n)/n]^n=(1+1/n)^n/2^n
上式用了均值不等式.

显然能用挤夹原理证明这个极限为0.

对n≥3时,n!/n^n<1/n是对的，没注意到这么简单。

Answer 2

不知道你知不知道Stirling公式：当n→+∞时，n!～√(2π)n^(n+1/2)e^(-n)。这个可以是通过设bn=n!/[√(2π)n^(n+1/2)e^(-n)]，当n→+∞时，bn→√(2π)来证明的。可以参考《数学分析》。
所以，极限lim(n!/n^n)=lim[√(2π)n^(n+1/2)e^(-n)/n^n]=lim√(2πn)/e^n
这是∞/∞的形式，利用L'Hospital法则，对分子、分别分别求导，有
√(2πn)/e^n → √(2π)/[2√π*e^n]
而当n→+∞时，lim{√(2π)/[2√π*e^n]}=0
所以，lim(n!/n^n)=0

Answer 3

不能，这个问题涉及到n!的解析拖延，也就是伽马函数，详细的计算可以搜索斯特林公式和伽马函数。