Question

求曲面Z=XY的平行与平面X+3Y+Z+9=0的切平面方程

求曲面Z=XY的平行与平面X+3Y+Z+9=0的切平面方程

如题 要过程。 速度

Answer 1

设：F(x,y,z)=xy-z,
则曲面方程为：F(x,y,z)=0.
F(x,y,z)对x,y,z的偏导数分别顺次为：
y,x,-1.
故曲面在点(x,y,z)处的法线向量为：
n=(y,x,-1)
面平面x+3y+z+9=0的法向量为
n1=（1,3,1).
令：向量n平行于向量n1,
即令：y/1=x/3=(-1)/1
得:y=-1,x=-3,求得z=(-1)*(-3)=3.
即得点M(-3,-1,3)处的切平面为所求.
其方程为：(x+3)+3(y+1)+(z-3)=0
或:x+3y+z+3=0
即为所求.

Answer 2

设f（x,y,z)=xy-z
那么它的法向量为n=(fx,fy,fz)=(y,x,-1)
(fx,fy,fz为分别对f（x,y,z）的x,y,z求偏导数）
又平面x+3y+z+9=0的法向量设为n'=（k,3k,k)
n=n'
解得y=-1,x=-3
再代入z=xy中解得这一点为（-1，-3，3）