Question

线性代数的一道题

| 1 1 1 1 |
| a b c d |
|a2 b2 c2 d2 |
|a4 b4 c4 d4 | 求此行列式的值？（要求写出过程，说一下技巧吧） 谢谢~！

Answer 1

这个行列式是缺行“范德蒙行列式”，我之前回答过一次，见链接

利用加行的方法来解决这个问题.
加完行行列式变成5行5列,如下:

1 1 1 1 1
a b c d x
a^2 b^2 c^2 d^2 x^2
a^3 b^3 c^3 d^3 x^3
a^4 b^4 c^4 d^4 x^4

这是一个标准的范德蒙行列式

利用行列式展开法则,按第5列展开,得到的展开式如下:
A15+(-A25)*x +A35*x^2+(-D)*x^3+A55*x^4 （其中A为代数余子式,D即为所求的四阶行列式的值）

又由范德蒙行列式计算公式,得出该五阶行列式的值为:
(b-a)(c-a)(c-b)(d-a)(d-b)(d-c)(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)

∴(b-a)(c-a)(c-b)(d-a)(d-b)(d-c)(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)
=A15+(-A25)*x +A35*x^2 +(-D)*x^3+A55*x^4
x^3的系数相等，
∴D=(a+b+c+d)(b-a)(c-a)(c-b)(d-a)(d-b)(d-c)