Question

已知函数f(x)=x+x³,x∈R.(1)判断函数单调性，并证明（2）若a,b∈R，且a+b＞0,是试比较f(a)+f(b)与0的

已知函数f(x)=x+x³,x∈R.(1)判断函数单调性，并证明（2）若a,b∈R，且a+b＞0,是试比较f(a)+f(b)与0的大小

Answer 1

(1) f(x)=x+x³单调递增
证明可用定义或导数

若导数：f(x)=x+x³，
则： f’(x)=1+3x²,
∴ f’(x)恒大于0
故 单调递增

若定义：任取x1、x2∈R，且x1<x2
则 f(x2)-f(x1）=x2+x2³-（x1+x1³）
=（x2-x1)(x2²+x1x2+x1²+1)
∵x1<x2，
∴x2-x1>0,x2²+x1x2+x1²+1>0
得f(x2)-f(x1）>0
故f(x)=x+x³单调递增

（2）∵f(x)=x+x³
∴f(x)为奇函数
又a+b＞0，f(x)单调递增，
故f(a)+f(b)>f(a)+f(-a)=0
即f(a)+f(b)>0