Question

有几道高中函数的数学题，希望能帮忙解答一下~~

已知函数f（x）=（x的平方+2x+a）∕x，x∈【1，+∞）
（1） 当a=二分之一时，判断并证明f（x）的单调性。
（2） 当a=-1时，求函数f（x）的最小值。
2、已知函数f（x），x∈R，若对任意实数x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y）
求证：f（x）为奇函数
若f（-3）=a，试用a表示f（12）

3、已知f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x∣x-2∣,求x＜0时，f（x）的表达式。
4、已知函数f（x）=kx的平方-4x-8在【5,20】上是单调函数，求实数k的取值范围。

Answer 1

1,求导计算很容易可以看出
（1）单调递增
（2）在x=1的时候，最小为2
2，当x=0时，f(x)=f(0)+f(x),f(0)=0
当y=-x时，f(0)=f(x)+f(-x),所以f(x)=-f(-x)，，所以f(x)为奇函数
f(-3)=a,f(3)=-a.
f(12)=f(3)+f(9)=f(3)+f(3)+f(6)=f(3)+f(3)+f(3)+f(3)=-4a.
3,f(x)=x|x+2|花一下图，容易看出，或者将x>0的情况分段，利用奇函数的性质容易解出。
4， 对称轴为x=2/k.有2/k<5,或者2/k>20
解得[-∞，0.1]和[0.4,+∞]

Answer 2

（1）f(x)=x+0.5/x+2 .显然在【√0.5，+∞），（—∞，√0.5】↗；
在(0，√0.5]，[—√0.5，0）↘（由勾函数性质得来的）这是针对X∈R成立，因为题设有x∈【1，+∞），故第一问的解答是：f(x)在x∈【1，+∞）递增。
（2）注意这是a=1，f(x)=x+1/x+2，g(x)=x+1/x的最小值为2，故f(x)的最小值是4，题设是a=-1，用求导的方法更好，答案是当x=1时有最小值2
说明：本题的求解我采用了勾函数的性质，其实这道题比较简单，用定义证也十分简单。但勾函数应用相当广泛，高一应掌握好。
定义法证：设x1,x2,且x1＜x2，将x1,x2分别代入f(x)中，化简f(x1) ―f(x2),你将会得到f(x1) ―f(x2) ＜0，从而得到是增函数的结论。本处从略。
问题补充：
2、令x=y=0,知f(0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0，令x=―y,知f（x）+f（―x）= f(0)=0，即f（―x）=―f（x），所以f（x）为奇函数。
构造f（x）=x（其实不构造也一样，只是构造了更好理解），f（-3）=a，所以f（3）=―a，f（12）= f（3＊4）=4 f（3）=―4a
3分段方法4注意小范围推大范围。你好狠20分蹭这么多道题~~嘻嘻，很晚了，不然详细给你解答

Answer 3

下边答得不错 我来给你解一下第三题

x＜0时，-x>0 ,so ,f(-x)=-x∣-x-2∣=-f(X) ,so, f(x)=x∣x+2∣
明白？

Answer 4

你还是自己算吧