Question

已知A（-2,0）、B（2,0），点C、点D满足|AC|=2，向量AD=1/2(向量AB+向量AC）

（1）求点D的轨迹方程
（2）过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到y轴的距离为4/5,且直线l与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程

要详细的过程..特别是第二题...好难吖.谢谢了

Answer 1

（1）解：
设C(xc,yc)，D(x,y)，则
向量AB＝(4,0)，向量AC＝(xc＋2,yc)，向量AD＝(x＋2,y)
∵|AC|＝2
∴C的轨迹方程为：
(xc＋2)²＋yc²＝4（1）
∵向量AD＝1/2(向量AB＋向量AC)
∴代数表达为：
x＋2＝1/2(xc＋2＋4)
y＝1/2yc
整理，得：
xc＝2x－2（2）
yc＝2y（3）
将（2）、（3）代入（1），得：
4x²＋4y²＝4
x²＋y²＝1
答：D的轨迹方程为x²＋y²＝1。

（2）解：
显然：过点A(－2,0)且与x轴垂直的直线不可能与D的轨迹相切，
不符合题意
∴直线l的斜率必然存在
设l：y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0
∵直线l与D的轨迹相切
∴D的轨迹的圆心O(0,0)到直线l的距离为半径r＝1
代入点到直线的距离公式，有：
|2k|/(k²＋1)^0.5＝1
解得：k＝±√3/3
经画图、分析可知：图像关于x轴对称
∴k＝√3/3与k＝－√3/3等价
∴不妨设k＝√3/3
则l：y＝√3/3(x＋2)
设椭圆的方程为：x²/a²＋y²/b²＝1
∵A(－2,0)，B(2,0)为焦点
∴a²－b²＝4
设M(x1,y1)，N(x2,y2)
将椭圆方程与直线方程联立，得：
x²/a²＋(x＋2)²/(3b²)＝1
3b²x²＋a²x²＋4a²x＋4a²＝3a²b²
(a²＋3b²)x²＋4a²x＋4a²－3a²b²＝0
根据韦达定理，有：
x1＋x2＝－2a²/(a²＋3b²)
∵M(x1,y1)，N(x2,y2)在直线l：y＝√3/3(x＋2)上
∴y1＝√3/3(x1＋2)，y2＝√3/3(x2＋2)
∴y1＋y2＝√3/3(x1＋x2＋4)＝√3/3[－2a²/(a²＋3b²)＋4]
设MN中点为E(xe,ye)，则
根据题意，有：ye＝4/5
∵E为MN中点
∴ye＝1/2(y1＋y2)＝√3/3[－a²/(a²＋3b²)＋2]＝4/5
又∵a²－b²＝4
∴解得：a²＝(1845＋60√3)/457，b²＝(17＋60√3)/457
答：椭圆的方程为457x²/(1845＋60√3)＋457y²/(17＋60√3)＝1。

Answer 2

解：（1）设C、D点的坐标分别为C（x0，y0），D（x，y）， 则 AC =(x0+2，y0）， AB =(4，0)， 则 AB + AC =(x0+6，y0)， 故 AD = 1 2 ( AB + AC )=( x0 2 +3， y0 2 )． 又 x0=2x-2 y0=2y. 代入| AC |= (x0+2)2+ y 2 0 =2中，整理得x2+y2=1， 即为所求点D的轨迹方程． （2）易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y=k（x+2），① 又设椭圆方程为 x2 a2 + y2 b2 =1，② 因为直线l：kx-y+2k=0与圆x2+y2=1相切． 故 |2k| k2+1 =1， 解得k2= 1 3 ．将①代入②整理得，（a2k2+a2-4）x2+4a2k2x+4a2k2-a4+4a2=0，③ 将k2= 1 3 代入上式， 整理得(a2-3)x2+a2x- 3 4 a4+4a2=0， 设M（x1，y1），N（x2，y2）， 则x1+x2=- a2 a2-3 ， 由题意有，求得． 经检验，此时③的判别式 故所求的椭圆方程为 x2 8 + y2 4 =1．

Answer 3

设C(xc,yc)，D(x,y)，则
向量AB＝(4,0)，向量AC＝(xc＋2,yc)，向量AD＝(x＋2,y)
∵|AC|＝2
∴C的轨迹方程为：
(xc＋2)²＋yc²＝4（1）
∵向量AD＝1/2(向量AB＋向量AC)
∴代数表达为：
x＋2＝1/2(xc＋2＋4)
y＝1/2yc
整理，得：
xc＝2x－2（2）
yc＝2y（3）
将（2）、（3）代入（1），得：
4x²＋4y²＝4
x²＋y²＝1
答：D的轨迹方程为x²＋y²＝1。

（2）解：
显然：过点A(－2,0)且与x轴垂直的直线不可能与D的轨迹相切，
不符合题意
∴直线l的斜率必然存在
设l：y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0
∵直线l与D的轨迹相切
∴D的轨迹的圆心O(0,0)到直线l的距离为半径r＝1
代入点到直线的距离公式，有：
|2k|/(k²＋1)^0.5＝1
解得：k＝±√3/3
经画图、分析可知：图像关于x轴对称
∴k＝√3/3与k＝－√3/3等价
∴不妨设k＝√3/3
则l：y＝√3/3(x＋2)
设椭圆的方程为：x²/a²＋y²/b²＝1
∵A(－2,0)，B(2,0)为焦点
∴a²－b²＝4
设M(x1,y1)，N(x2,y2)
将椭圆方程与直线方程联立，得：
x²/a²＋(x＋2)²/(3b²)＝1
3b²x²＋a²x²＋4a²x＋4a²＝3a²b²
(a²＋3b²)x²＋4a²x＋4a²－3a²b²＝0
根据韦达定理，有：
x1＋x2＝－2a²/(a²＋3b²)
∵M(x1,y1)，N(x2,y2)在直线l：y＝√3/3(x＋2)上
∴y1＝√3/3(x1＋2)，y2＝√3/3(x2＋2)
∴y1＋y2＝√3/3(x1＋x2＋4)＝√3/3[－2a²/(a²＋3b²)＋4]
设MN中点为E(xe,ye)，则
根据题意，有：ye＝4/5
∵E为MN中点
∴ye＝1/2(y1＋y2)＝√3/3[－a²/(a²＋3b²)＋2]＝4/5
又∵a²－b²＝4
∴解得：a²＝(1845＋60√3)/457，b²＝(17＋60√3)/457
答：椭圆的方程为457x²/(1845＋60√3)＋457y²/(17＋60√3)＝1