Question

已知{an}是首项为a1,公比q为正数的等比数列,其前n项和为Sn,且有5S2=4S4,设bn=q+Sn (1)求q的值； (2)数列{b

(2)的题目是bn是否为等比数列。若是，求出它的a1

Answer 1

(1)解:
∵{an}是等比数列,
①当q=1时,即{an}为常数列,Sn=na1
∴5S2=4S4
即5×2a1=4×4a1
∴a1=0
即{an}是常数0的数列. //注:等比数列定义中,只要求q≠0,没有其他限定.
②当q≠1时,Sn=a1(1-qⁿ)/(1-q)
∵5S2=4S4
即5a1(1-q²)/(1-q)=4a1(1-q⁴)/(1-q)
即5(1-q²)=4(1-q⁴)
∴4(q²)²-5q²+1=0
即(q²-1)(4q²-1)=0
即q=±1或者q=±½
又∵q>0,且q≠1
∴q=½
综上所述:
{an}为首项为0,公比为1的等比数列(常数列)
或者{an}为首项为a1,公比为½的等比数列.

(2)解:
①当{an}为常数列时,bn=1+0=1
∴{bn}为首项为1,公比为1的等比数列(即常数1数列)
此时a1=0
②当{an}为首项为a1,公比为½的等比数列时
bn=½+a1(1-½ⁿ)/(1-½)=½+2a1(1-½ⁿ)
∴b(n+1)=½+2a1(1-½×½ⁿ)
若{bn}是等比数列,则b(n+1)/bn为常数,设这个常数为C
则b(n+1)=Cbn
即½+2a1(1-½×½ⁿ)=C[½+2a1(1-½ⁿ)]
整理得(½+2a1)(1-C)=a1×½ⁿ(1-2C)
∵(½+2a1)(1-C)为定值
∴a1×½ⁿ(1-2C)为定值
又∵½ⁿ为不定值
∴a1×½ⁿ(1-2C)=0,即1-2C=0
∴C=½,即{bn}的公比为½
∴(½+2a1)(1-C)=0
∴a1=-¼

综上所述:
a1=0,或者a1=-¼

Answer 2

（1）5S2=4S4
5（a1+a1*q)=4a1(1-q^4)/(1-q)
消去a1
5(1-q^2)=4(1-q^4)
q^2=1/4 q为正数(q不等于1)
q=1/2
(2)bn=q+a1(1-q^n)/(1-q)
q=1/2
bn=1/2+2a1[1-(1/2)^n]
bn=1/2+2a1-a1(1/2)^(n-1)
bn为等比数列1/2+2a1=0
a1=-1/4