Question

已知数列{an}是首项为a1、公比q(q≠1)为正数的等比数列，其前n项和为Sn,且有5S2=4S4。设bn=q+Sn.

我已求q=0.5，请您帮忙求一下数列｛bn｝能否为等比数列？若是，求出a1的值，若不是，请说明理由

Answer 1

S2=a1(1-q²)/(1-q)
S4=a1(1-q^4)/(1-q)
所以
5a1(1-q²)/(1-q)=4a1(1-q^4)/(1-q)
即5(1-q²)=4(1-q²)(1+q²)
5/4=q²+1
得q=0.5
bn=0.5+a1(1-0.5^n)/(1-0.5)
=0.5+2a1(1-0.5^n)
=0.5+2a1-2a1*0.5^n

bn+1/bn
=（0.5+2a1-2a1*0.5^n+1)/（0.5+2a1-2a1*0.5^n)
当0.5+2a1=0，即a1=-0.25时
bn+1/bn
=（-2a1*0.5^n+1))/(-2a1*0.5^n)
=0.5^n+1/0.5^n
=0.5
即当a1=-0.25时，bn为等比数列

Answer 2

解：an=a1q^（n-1）
Sn=a1（1-q^n）/(1-q）
由5S2=4S4得：q=±1/2 an为证等比数列
故q=1/2
bn=q+Sn=1/2+2a1【1-（1/2)^n】=1/2+2a1-2a1（1/2)^n
若bn为等比数列，
则1/2+2a1=0 故a1=-1/4