Question

a+b=1,比较M=x²+y² 与N=(ax+by)² +(bx+ay)²的大小

Answer 1

解：由a+b=1，可得a²+b²=(a+b)²-2ab=1-2ab

因此，N=(ax+by)² +(bx+ay)²

=(a²x²+2abxy+b²y²)+(b²x²+2abxy+a²y²)

=(a²+b²)x²+(a²+b²)y²+4abxy

=(1-2ab)x²+(1-2ab)y²+4abxy

=x²+y²-2abx²2-2aby²+4abxy

=x²+y²-2ab(x-y)²

于是，M-N=(x²+y² )-[x²+y²-2ab(x-y)²]=2ab(x-y)²

若a,b均为正数，则M-N≥0，即M≥N，当且仅当x=y时等号成立；

若a,b一正一负，则M-N≤0，即M≤N，当且仅当x=y时等号成立；

若a=0，b=1或a=1，b=0，则M=N.