Question

数学题，急急急

如图，在RT△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=2∠ABC，过C作AD‖AB交∠BAC的平分线AD于D，过D做DH⊥AB于H，且交BC于F，连接BD
1 求证 AC=CD
2 若AD交BC于E，求证 △ACE≌△BDE。
3 若O为AB中点，连接OF，已知OF=5,求AE
前面2题已经解答了，就剩最后一题了。

Answer 1

题目的确有点怪，不过还可以解答：如下‖∠⊥≌＝
1.求证 AC=CD

证明：在RT△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=2∠ABC

可以得到 ∠ABC=30°,∠BAC=60°,

又由 CD‖AB 可以得到 ∠BCD=30°,由此可知

∠ACD=∠ACB+∠BCD
=120°

由 AD 是 ∠BAC 的平分线，且 ∠BAC=60°

可知 ∠CAD=30°

由上可以得出 ∠ADC=30°

三角形中两个内角值相等，那么它们所对应的边的长度也相等

所以 AC=CD

2.若AD交BC于E，求证 △ACE≌△BDE

证明：由 AB‖CD , AD 是 ∠BAC 的平分线

可知 ∠BAD = 30°, ∠ADC=30°,∠ABC=30°,∠BCD=30°

在 △ABE 中，由 ∠BAE=∠BAD=∠ABE=∠ABC=30°

得 △ABE 是等腰三角形，AE=BE

在 △CDE 中，由 ∠ECD=∠BCD=∠EDC=∠ADC=30°

得 △CDE 是等腰三角形，CE=DE

综上所述，AE=BE，CE=DE ，∠AEC=∠BED

所以 △ACE≌△BDE

3.若O为AB中点，连接OF，已知OF=5,求AE

解：由题1 可知 RT△ACE,∠ACE=90°∠CAE=30°∠AEC=60°

∠BED=∠AEC=60° ∠DFE = ∠BFH = 60°

所以 ∠EDF=60°，△DEF 为等边三角形 DE=DF=EF

由 △ACE≌△BDE ,RT△BHD 可知

∠DBE=∠DBF=∠CAE=30°,∠BHD=90°,∠ABC=30°

∠DBH=∠ABC+∠DBE=60°

∠BDH=∠BDF=90°-∠DBH=30°=∠DBF

所以 △BDE 为等腰三角形 ，DF=BF

因此 BF=DF=FE ,又 BO=OA

所以 OF‖AE，且OF:AE = OB:AB = 1:2

AE = 2OF = 2×5 = 10

Answer 2

AE = 10,下面证明之：
首先，由题目可知 ∠BAC = 60°，从而∠DAC = ∠BAC/2 = 30°
∠DEB = ∠CEA = 90°-∠DAC = 60°
∠DFE = ∠BFH = 60°
因此△DEF是个等边三角形 ...... （I）
另一方面，由△ACE≌△BDE 可知
∠DBE = ∠CAE = 30°
从而易知 ∠BDH = 30° = ∠DBF
因此 BF = DF =FE （此处用到了（I））
又 BO = OA
所以 FO‖AE，且FO:AE = BO:BA = 1:2
因此。。。

Answer 3

题目有问题，D点在哪里