Question

求二次函数四种形式，例如两根式，顶点式!

二次函数四种形式

Answer 1

(1)一般式：y=ax^2＋bx＋c(a≠0)；

(2)顶点式：y=a(x－h)^2＋k(a≠0)；

(3)两根式：y=a(x－x1)(x－x2) (a≠0)，这里x1，x2是抛物线与x轴两个交点的横坐标．
( 4)三点式：
过三点A（x1,f (x1)）、B（x2,f (x2)）、C（x3,f (x3)）的二次函数可设为 f (x)=a1(x-x2)(x-x3)+a2(x-x1)(x-x3)+a3(x-x1)(x-x2)

下面是它们各自的属性;
1.抛物线y=ax^2＋bx＋c中系数a、b、c的几何意义

抛物线y=ax^2＋bx＋c的对称轴是，顶点坐标是，其中a的符号决定抛物线的开口方向．

a>0，抛物线开口向上，a<0，抛物线开口向下；a，b同号时，对称轴在y轴的左边；a，b异号时，对称轴在y轴的右边；c确定抛物线与y轴的交点（0，c）在x轴上方还是下方．

2、抛物线顶点式y=a(x－h)^2＋k(a≠0)的特点

(1)a>0，开口向上；a<0，开口向下；

(2)x=h为抛物线对称轴；

(3)顶点坐标为（h，k）．

依顶点式，可以很快地求出二次函数的最值．

当a>0时，函数在x=h处取最小值y=k；

当a<0时，函数在x=h处取最大值y=k．

3、抛物线y=ax^2＋bx＋c与x轴的两个交点为A、B，且方程ax^2＋bx＋c=0的两根为x1，x2，则有A(x1，0)，B(x2，0)．
4. 过三点A（x1,f (x1)）、B（x2,f (x2)）、C（x3,f (x3)）的二次函数可设为

f (x)=a1(x-x2)(x-x3)+a2(x-x1)(x-x3)+a3(x-x1)(x-x2)把ABC坐标依次代入，即令x=x1,x2,x3,得

f (x1)=a1(x1-x2)(x1-x3)，
f (x2)=a2(x2-x1)(x2-x3)，
f (x3)=a3(x3-x1)(x3-x2)

解之，得：a1=f (x1)/ (x1-x2)(x1-x3)，a2=f (x2)/ (x2-x1)(x2-x3)，a3=f (x3)/ (x3-x1)(x3-x2)

从而得二次函数的三点式为：f(x)=[f(x1)/(x1-x2)](x1-x3)(x-x2)(x-x3)+[f(x2)/ (x2-x1)(x2-x3)](x-x1)(x-x3)+[f(x3)/(x3-x1)(x3-x2)](x-x1)(x-x2)

说句有技术含量的话，"好好学习，天天向上"

Answer 2

二次函数有四种待定形式：

1．标准式（定义式）：f(x)=ax2+bx+c.(a≠0)
2．顶点式： f(x)=a(x-h)2+k .(a≠0)
3．两根式（零点式）：f(x)=a(x-x1)(x-x2). (a≠0)
4．三点式：（见罗增儒《高中数学竞赛辅导》）

过三点A（x1,f (x1)）、B（x2,f (x2)）、C（x3,f (x3)）的二次函数可设为

f (x)=a1(x-x2)(x-x3)+a2(x-x1)(x-x3)+a3(x-x1)(x-x2)把ABC坐标依次代入，即令x=x1,x2,x3,得

f (x1)=a1(x1-x2)(x1-x3)，
f (x2)=a2(x2-x1)(x2-x3)，
f (x3)=a3(x3-x1)(x3-x2)

解之，得：a1=f (x1)/ (x1-x2)(x1-x3)，a2=f (x2)/ (x2-x1)(x2-x3)，a3=f (x3)/ (x3-x1)(x3-x2)

从而得二次函数的三点式为：f(x)=[f(x1)/(x1-x2)](x1-x3)(x-x2)(x-x3)+[f(x2)/ (x2-x1)(x2-x3)](x-x1)(x-x3)+[f(x3)/(x3-x1)(x3-x2)](x-x1)(x-x2)根据题目所给的不同条件，灵活地选用上述四种形式求解二次函数解析式，将会得心应手。