Question

已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3,S9,S6成等差数列，求正a2,a8,a5成等差数列

Answer 1

已知：Sn是等比数列{An]的前n项和，S3、S9、S6成等差数列；
求证：A2、A8、A5成等差数列。
证明：由已知设An=A1q^(n-1)，q为公比且不为0。
则q不为0也不为1时，Sn=[(q^n-1)/(q-1)]A1；
当q=1时，Sn=nA1；

∵2S9=S3+S6，
∴2[(q^9-1)/(q-1)]A1=[(q^3-1)/(q-1)]A1+[(q^6-1)/(q-1)]A1，
∴2q^9=q³+q^6，∴q³(2q³+1)(q³-1)=0，
∴q³=1或-1/2，∴q=1或(-1/2)^(1/3)，

当q=1时，An=A1，则2A8-(A8+A5)=2A1-(A1+A1)=0，得证；
当q=(-1/2)^(1/3)时，An=A1[(-1/2)^(1/3)]^(n-1)；
2A8-(A8+A5)
=2×A1[(-1/2)^(1/3)]^(8-1)
-{[A1[(-1/2)^(1/3)]^(2-1)]+[A1[(-1/2)^(1/3)]^(5-1)]}
=(A1/2)(-1/2)^(1/3)-[A1(-1/2)^(1/3)+(-A1/2)(-1/2)^(1/3)]
=(A1/2)(-1/2)^(1/3)-(A1/2)(-1/2)^(1/3)
=0，得证。