Question

已知Sn是等比数列数列{an}的前n项和，S3,S9,S6成等差数列，求证a2，a8，a5成等差数列

Answer 1

设公比为q，易知q不等于1，因为S3+S6=2S9，则2a1(1-q^9)/(1-q)=a1(1-q^3)/(1-q)+a1(1-q^6)/(1-q),化简得2a1(1-q^9)=a1(1-q^3)+a1(1-q^6)即2a1*q^9=a1（q^3+q^6）（ 同除以q^2）得2a1*q^7=a1（q+q^4）即2a8=a2+a5所以a2，a8，a5成等差数列

Answer 2

高中数学~证明：
首先根据等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d
则a(n+1)=a1+（n)d
a（n+2)=a1+（n+1）d
很显然等差数列有an+a(n+2)=2a(n+1)
根据等比数列的求和公式：
Sn=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n
则S3=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^3
S9=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^9
S6=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^6
因为S3，S9，S6成等差数列
即有S3+S6=2S9
即a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^3+a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^9=2[a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^6]
可以化为 a1q^1+a1q^7=a1q^4--------(1)
根据等比数列的通项公式
a2=a1q^1
a8=a1q^7
a5=a1q^4
分别代入(1)式中得到：
a2+a8=2a5
再根据前面已经给出的
等差数列有an+a(n+2)=2a(n+1)
则a2,a8，a5成等差数列 得证。