Question

设圆满足 截y轴所得弦长为2。 被x轴分成两段圆弧，共弧长之比为3:1。 圆心到直线L:x-2y=0的距离为5分之根

设圆满足 截y轴所得弦长为2。 被x轴分成两段圆弧，共弧长之比为3:1。 圆心到直线L:x-2y=0的距离为5分之根号5。 求圆方程

Answer 1

设圆心为P(a,b),半径为r,

则P到X轴、Y轴距离分别为|b|、|a|.

由题设知圆P截X轴所得劣弧所对的圆心角为90度,知圆P所截X轴所得的弦长为 (根2)*r,故

r^2=2b

又圆P截Y轴所得弦长为2,所以有

r^2=a^2+1

从而得

2b^2-a^2=1

又P(a,b)到直线x-2y=0的距离为

d=|a-2b|/根5

--->5d^2=a^2+4b^2-4ab>=a^2+4b^2-2(a^2+b^2)=2b^2-a^2=1

当a=b时上式等号成立,

此时,5d^2=1,从而d取得最小值.

由此有{a=b,2b^2-a^2=1}

--->a=b=1,或a=b=-1

由于r^2=2b^2,则r=根2

于是,所求圆的方程是:

(x-1)^2+(y-1)^2=2,

或(x+1)^2+(y+1)^2=2.

Answer 2

解：设圆P的圆心为P（a,b）,半径为r,则点P到x轴,y轴的距离分别为│b│,│a│.由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°,知圆P截x轴所得的弦长为.故r2=2b2

又圆P被y轴所截得的弦长为2,所以有 r2=a2+1.从而得2b2-a2=1. 又因为到直线的距离为，所以,

即有a-2b=±1,由此有

解方程组得

于是r2=2b2=2,

所求圆的方程是

（x+1）2+（y+1）2=2,或（x-1）2+（y-1）2=2.