Question

如图，三角形ABC是正三角形，三角形BDC是顶角角BDC为120度的等腰三角形，以D为顶点作一个60度角，角的两边

如图，三角形ABC是正三角形，三角形BDC是顶角角BDC为120度的等腰三角形，以D为顶点作一个60度角，角的两边交AB,AC边于M,N两点，连接MN。
若点M，N分别是射线AB,CA上的点，其他条件不变，再探究线段BM,MN,NC之间的关系，在图中画出图形，并说明理由。

Answer 1

(1)
设AB=AC=BC=a,作DE⊥BC交BC于E，则E在AD上，AD平分∠BAC和∠BDC
DE=(a/2)*√3/3=a√3/6
BD=DC=a√3/3

∠BDM+∠MDA=60°=∠MDA+∠ADN,===>∠ADN=∠BDM
ΔBMD、ΔDEG和ΔDCN都是RtΔ，===>∠BMD=∠DGB

设MD交BC于F，DN交BC于G，==>∠BFM=∠DNC
则有：ΔDFG∽ΔBFM∽ΔCFN，∠BFM=∠DNC，∠BMF=∠NGC
连接NF、MG交于O，连接并延长DO交MN于P
由ΔDFG∽ΔBFM∽ΔCFN==>MF:FG=MB:DG=BF:DF,FG:NG=FD:NC=DG:CG
===>ΔMFG∽ΔBFD，ΔFGN∽ΔDCG===> ∠FMG=∠FNG=30°
==>NF⊥MD,MG⊥ND,O为三角形MND的垂心，PD⊥MN
方法一
PDBM共圆，PDCN共圆，PD=CD=BD
===>MP=MB,PN=CN
MN=CN+BM

(2) 若AN=CN，则CN=NP=a/2，CD=BD=PD=a√3/3,CE=a/2
ND^2=CD^2+CN^2=a^2/3+a^2/4=7a^2/12,ND=a√21/6
NF=ND*sin60°=a√7/4,设PM=x,PM:PD=MF:NF
MF=x*√21/4,FD=ND/2=a√21/12===>MD=√21/12(3x+a)
MD^2-MP^2=PD^2=a^2/3=7/48(3x+a)^2-x^2
16a^2+48x^2-63x^2-7a^2-42ax=0；3a^2-5x^2-14ax=0===>x=a/5
MN=a/5+a/2=7a/10；MD=a√21/12(3/5+1)=2a√21/5；
MB^2=MD^2-BD^2=84a/225-a^2/3=a^2/25,MB=a/5
BM+CN=a/5+a/2=7a/10=MN；(3)DM//AC时，∠BDM=∠CDN=30°
△DMN是正三角形，DN=CD/cos30°=2a/3=MN
CN=BM=ND/2；显然MN=BM+CN

Answer 2

延长NC至点E,使CE=BM,连结DE
∵BD=DC
∴∠CBD=∠BCD
而∠CBD+∠BCD+∠BDC=180
又∵∠BDC=120
∴∠CBD=∠BCD=30
又∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60
∴∠ABC+∠CBD=∠ACB+∠BCD=90
即∠ABD=∠ACD=90
又∵∠ACD+∠DCE=180
∴∠DCE=∠ABD=90
用BD=CD,∠ABD=∠DCE,BM=CE
求出△BDM≌△CDE
∴∠BDM=∠CDE
又∵∠BCD=120,∠MDN=60
∴∠NDE=∠MDN=60
用MD=ED,∠MDN=∠NDE,DN=DN
求出△MDN≌△EDN
∴MN=NE
即MN=CN+BM

Answer 3

若AN=CN，则CN=NP=a/2，CD=BD=PD=a√3/3,CE=a/2
ND^2=CD^2+CN^2=a^2/3+a^2/4=7a^2/12,ND=a√21/6
NF=ND*sin60°=a√7/4,设PM=x,PM:PD=MF:NF
MF=x*√21/4,FD=ND/2=a√21/12===>MD=√21/12(3x+a)
MD^2-MP^2=PD^2=a^2/3=7/48(3x+a)^2-x^2
16a^2+48x^2-63x^2-7a^2-42ax=0；3a^2-5x^2-14ax=0===>x=a/5
MN=a/5+a/2=7a/10；MD=a√21/12(3/5+1)=2a√21/5；
MB^2=MD^2-BD^2=84a/225-a^2/3=a^2/25,MB=a/5
BM+CN=a/5+a/2=7a/10=MN；(3)DM//AC时，∠BDM=∠CDN=30°
△DMN是正三角形，DN=CD/cos30°=2a/3=MN
CN=BM=ND/2；显然MN=BM+CN

Answer 4

BM=MN=NC
证△MBC=△NCB
AB-MB=AC-CN
AM=AN
∠A=60°
△AMN等边三角形
AM=AN=MN
BM=CB=MN
是个思路哈
不知道对不对