Question

如图一，三角形ABC 是正三角形，三角形BDC是顶点角BDC=120度的等腰三角形，以D为顶点作一个60度角

角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN。探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并说明理由。
说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；
（2）在你经历说明1的过程之后，可以从下列1、2中选取一个补充或更换已知条件，再来探究线段BM、MN、NC之间的关系，并说明理由。
完成你的解题过程
1、AN=NC(如图二）；2、DM平行AC(如图三）
附加题：若点M、N分别是射线BA、AC上的点，其他条件不变，在探究线段BM、MN、NC之间的关系，在图4中画出图形，并说明理由

Answer 1

解：（1）BM+CN=MN
证明：如图，延长AC至M1，使CM1=BM，连接DM1
由已知条件知：∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ABD=∠ACD=90°．
∵BD=CD，
∴Rt△BDM≌Rt△CDM1
∴∠MDB=∠M1DC，DM=DM1
∴∠MDM1=（120°-∠MDB）+∠M1DC=120°．
又∵∠MDN=60°，
∴∠M1DN=∠MDN=60°．
∴△MDN≌△M1DN．
∴MN=NM1=NC+CM1=NC+MB．
（2）附加题：CN-BM=MN
证明：如图，在CN上截取CM1，使CM1=BM，连接MN，DM1
∵∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠DBM=∠DCM1=90°．
∵BD=CD，
∴Rt△BDM≌Rt△CDM1
∴∠MDB=∠M1DC，DM=DM1
∵∠BDM+∠BDN=60°，
∴∠CDM1+∠BDN=60°．
∴∠NDM1=∠BDC-（∠M1DC+∠BDN）=120°-60°=60°．
∴∠M1DN=∠MDN．
∵ND=ND，
∴△MDN≌△M1DN．
∴MN=NM1=NC-CM1=NC-MB．

Answer 2

解：（1）BM+CN=MN
证明：如图，延长AC至M1，使CM1=BM，连接DM1
由已知条件知：∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ABD=∠ACD=90°．
∵BD=CD，
∴Rt△BDM≌Rt△CDM1
∴∠MDB=∠M1DC，DM=DM1
∴∠MDM1=（120°-∠MDB）+∠M1DC=120°．
又∵∠MDN=60°，
∴∠M1DN=∠MDN=60°．
∴△MDN≌△M1DN．
∴MN=NM1=NC+CM1=NC+MB．
（2）附加题：CN-BM=MN
证明：如图，在CN上截取CM1，使CM1=BM，连接MN，DM1
∵∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠DBM=∠DCM1=90°．
∵BD=CD，
∴Rt△BDM≌Rt△CDM1
∴∠MDB=∠M1DC，DM=DM1
∵∠BDM+∠BDN=60°，
∴∠CDM1+∠BDN=60°．
∴∠NDM1=∠BDC-（∠M1DC+∠BDN）=120°-60°=60°．
∴∠M1DN=∠MDN．
∵ND=ND，
∴△MDN≌△M1DN．
∴MN=NM1=NC-CM1=NC-MB．

追问

那第一小题呢
（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；