Question

如图,三角形ABC是等边三角形,三角形BDC是顶角∠BDC为120度的等腰三角形

Answer 1

证明：BM+CN=NM延长AC至E，使CE=BM，连接DE，∵△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，△ABC是等边三角形，∴∠BCD=30°，∴∠ABD=∠ACD=90°。

∵DB=DC，CE=BM，∴△DCE≌△BMD，∴∠BDM=∠CDE，又∵∠BDC=120°，∠MDN=60°，∴∠BDM+∠NDC=∠BDC-∠MDN=60°，∴∠CDE+∠NDC=60°，即∠NDE=60°。

∵∠MDN=∠NDE=60°，∴DM=DE（上面已经全等），∴DN=ND（公共边），∴△DMN≌△DEN∴BM+CN=NM。

三角形的相关性质：

三角形的稳定性使其不像四边形那样易于变形，有着稳定、坚固、耐压的特点。三角形的结构在工程上有着广泛的应用。许多建筑都是三角形的结构，如：埃菲尔铁塔，埃及金字塔等等。

五心、四圆、三点、一线：这些是三角形的全部特殊点，以及基于这些特殊点的相关几何图形。“五心”指重心、垂心、内心、外心和旁心；“四圆”为内切圆、外接圆、旁切圆和欧拉圆；“三点”是勒莫恩点、奈格尔点和欧拉点；“一线”即欧拉线。

Answer 2

三角形ABC是等边三角形，三角形BDC是顶角角BDC为120度的等腰
以D为顶点作一个60度的角，角的俩边分别交AB、AC与M、N俩点，连结MN，求证；MN=BM+CN
证：
延长MB至G，使BG=CN，连接GD
1）
∵ △BDC是顶角∠BDC为120度的等腰△
∴ BD=DC，∠CBD=∠BCD=30度
∵ △ABC是等边△
∴ ∠ABC=∠ACB=60度
∴ ∠CBD+∠ABC=∠BCD+∠ACB=90度
∴ ∠ABD=∠ACD=90度
∵ ∠DBG=180-90=90度
∴ ∠DBE=∠ACD=90
∵ BD=DC，BE=CN
∴ △BGD≌△CND
∴ DE=DN，∠GDB=∠NDC
∴ ∠GDN=∠BDC
2）又
∵ ∠BDC=120度
∴ ∠GDN=∠BDC=120度
∵ ∠MDN=60度
∴ ∠GDM=120-60=60度
∴ ∠GDM=∠MDN
∵ DE=DN，DM=DM
∴ △GDM≌△NDM
∴ MN=MG
∵ MG=BM+BG，BG=CN
∴ MN=BM+CN