Question

如图，三角形ABC是边长为3的等边三角形，三角形BDC是等腰三角形，且角BDC=120度。......（请看问题补充）

如图，三角形ABC是边长为3的等边三角形，三角形BDC是等腰三角形，且角BDC=120度。以D为顶点做一个60度角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求三角形AMN的周长。

Answer 1

延长AC至P点，使得CP=BM，
△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°
BD=CD ∠DBC=∠DCB=30°
△ABC等边三角形
∠ABC=∠ACB=60°所以 ∠MBD=∠ABC+∠DBC=90°
同理∠NCD=90°
所以 ∠PCD=∠NCD=∠MBD=90°
所以 △BDM≌△CDP
所以 MD=PD
∠MDB=∠PDC
因为 ∠MDN=60°
所以 ∠MDB+∠NDC=∠PDC+∠NDC=∠BDC-∠MDN=60°即 ∠MDN=∠PDN=60°
所以 △NMD≌△NPD（SAS）所以 MN=PN=NC+CP=NC+BM所以 △AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=3+3=6
△AMN的周长为6

Answer 2

解因为三角形ABC是边长为3的等边三角形，三角形BDC是等腰三角形，且角BDC=120度
角MDN=60度
所以BD=CD 角DBC=角DCB=(180-120)/2=30度 角ABC=角ACB=60度
所以角ABD=角ACD=90度 DM=DP 角NDP=120度-角MDN=120度-60度=60度=角MDN
以D为顶点,将三角形BDM顺时针旋转至BD与CD重合,点M旋转至点P
所以 三角形BDM全等于三角形CDP
因为角ABD=角ACD=角DCP=90度 BM=CP
所以点A,C,P共线
因为DM=DP 角NDP=角MDN ND=ND
所以三角形MDN全等于三角形PDN
所以MN=NP=NC+CP=NC+BM
所以三角形AMN的周长为AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=3+3=6
所以三角形AMN的周长为6