Question

如图，三角形ABC是边长为3的等边三角形，三角形BDC是等腰三角形，且角BDC=120度。以D为顶点做一个60度角，

如图，三角形ABC是边长为3的等边三角形，三角形BDC是等腰三角形，且角BDC=120度。以D为顶点做一个60度角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求证：三角形DMN的周长是否为定值。

Answer 1

1、图中A、D两点分居BC的两侧。
∵AB=BC=AC=3，∴∠A=60°，又∵BD=DC，∠BDC=120°，∴△ABD≌△ACD(S、S、S)，
易得∠ABD=∠ACD=90°，∠ADB=∠ADC=60°，且BD=DC=√3，AD=2√3。
设若∠MDN位于∠BDA的位置，即M重合于B而N重合于A，此时△DMN的周长为3+3√3；
而当∠MDN居中以DA为平分线时，易证AMDN是菱形且边长为2，此时△DMN的周长为6，
可见△DMN的周长不是定值。
2、在题设条件下△AMN的周长是定值。兹证明如下。
设∠MDN在某个一般位置（M在AB上，N在AC上），
已证∠ABD=∠ACD=90°，延长AB到E，使BE=NC，连接DE，
∵BD=DC，BE=NC，∴rt△EBD≌rt△NCD，得∠EDB=∠NDC，ED=ND，
∵∠BDC=120°，∠MDN=60°，∴∠MDB+∠NDC=60°，于是∠MDB+∠EDB=∠MDE=60°，
得△MDE≌△MDN，（S、a、S），有ME=MN，
∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+ME+AN=AB+BE+AN=AB+AN+NC=AB+AC=6=定值。

Answer 2

∵∠BDC=120度，BDC是等腰三角形，三角形ABC是等边三角形
∴AD⊥BC，∠CAD=∠BAD=30°，∠BCD=∠CBD=30°
∴∠ACD=∠ABD=90°
在△DMN中，∠MND=∠NMD=60°
所以MN=MD=ND
根据勾股定理和30°角对应的直角边=斜边的一半，AD=3，可以解得DC=根号3
在直角三角形NCD中，根据勾股定理和30°角对应的直角边=斜边的一半，AD=3，以解得NC=1，DN=2
所以三角形DMN的周长=3*2=6，是个定值。