Question

设函数f(x)=x平方-1，对任意x∈[3/2，+∞)，f(x/m)-4m平方f(x)≤f(x-1)+4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是

RT，数学高手来

Answer 1

这题我喜欢！前几天才做过。(注：x^2表示x的平方）
把f(x)=x平方-1代入，得：
x^2/m^2-1-4m^2(x^2-1)≤【（x-1)^2-1】+4（m^2-1)
展开，消去4m^2,得：x^2/m^2-1-4m^2x^2≤x^2-2x-4
把x^2项合并，常数合并，得：（1/m^2-4m^2-1)x^2≤-2x-3
因为x≠0，所以1/m^2-4m^2-1≤（-2x-3)/x^2
令y=（-2x-3)/x^2,x∈[3/2，+∞),对y求导，知当x在（-2,0）时y递减，在（-∞，-2】和【0，+∞）时递增。所以y的最小值在x=3/2处取到，此时y1=-8/3
所以1/m^2-4m^2-1≤-8/3。同乘m^2,整理得：12m^4-5m^2-3≥0
因式分解，（4m^2-3)(3m^2+1）≥0,所以4m^2-3≥0
即m∈（-∞，-根号3/2】∪【根号3/2,+∞）

Answer 2

将原不等式化简,（1/m平方 - 4m平方）x平方≤x平方-2x-3
由于x范围，可直接分离变量，得
1/m平方 - 4m平方 ≤（x平方-2x-3）/x平方
然后，左边 1/m平方 - 4m平方 就要小于右边的最小值
因此，设g（x）=（x平方-2x-3）/x平方
求g（x）的导数，得出其最小值，
进而求出m的范围