Question

高一数学函数题：f(x)=x/（1+x²），为（-1,1）上的奇函数，求证f(x)为增函数，（-1,1）上的。

Answer 1

-1<x1<x2<1
f(x1)-f(x2)
=x1/(1+x1²)-x2/(1+x2²)
=(x1+x1x2²-x2-x1²x2)/(1+x1²)(1+x2²)
则分母(1+x1²)(1+x2²)>0

分子x1+x1x2²-x2-x1²x2
=(x1-x2)-x1x2(x1-x2)
=(x1-x2)(1-x1x2)
x1<x2,所以x1-x2<0
-1<x1<1,-1<x2<1
所以-1<x1x2<1
则1-x1x2>0
所以分子小于0
所以(x1+x1x2²-x2-x1²x2)/(1+x1²)(1+x2²)<0

即-1<x1<x2<1时f(x1)<f(x2)
所以是增函数

Answer 2

证明:设-1<x1<x2<1
f(x1)-f(x2)=x1/(1+x1^2)-x2/(1+x2^2)
=[x1(1+x2^2)-x2(1+x1^2)]/(1+x1^2)(1+x2^2)
=[(x1-x2)+x1x2(x2-x1)]/(1+x1^2)(1+x2^2)
=(x1-x2)(1-x1x2)/(1+x1^2)(1+x2^2)
由于x1-x2<0,x1x2<1,即1-x1x2>0
所以,f(x1)-f(x2)<0
即f(x1)<f(x2)
所以,f(x)在（-1,1）上为增函数

Answer 3

因为f(x)是奇函数，所以只需证在(0,1)上是增函数即可
任取x1<x2∈(0,1)，则Δx=x2-x1>0
Δy=f(x2)-f(x1)=x2/(1+x2²)-x1/(1+x1²)
=(x2-x1)(1-x1x2)/(1+x2²)(1+x1²)
(x2-x1)>0,又因为x1,x2<1，所以0<x1x2<1，所以(1-x1x2)>0，所以Δy>0
f(x)为增函数

Answer 4

-1<x1<x2<1
f(x1)-f(x2)
=x1/(1+x1²)-x2/(1+x2²)
=(x1+x1x2²-x2-x1²x2)/(1+x1²)(1+x2²)
则分母(1+x1²)(1+x2²)>0

分子x1+x1x2²-x2-x1²x2
=(x1-x2)-x1x2(x1-x2)
=(x1-x2)(1-x1x2)
x1<x2,所以x1-x2<0
-1<x1<1,-1<x2<1
-1<x1x2<1
所以(x1+x1x2²-x2-x1²x2)/(1+x1²)(1+x2²)<0

即-1<x1<x2<1时f(x1)<f(x2)
增函数

Answer 5

在（-1,1）取x1,x2 且x1小于x2
f(x1)=x1/（1+x1²） f(x2)=x2/（1+x2²）
f(x2)-f(x1)=x2/（1+x2²）-x1/（1+x1²）-
=（x2（1+x1²）-x1（1+x2²））/（1+x2²）（1+x1²）
=(x2-x1+x1²x2-x1x2²)/（1+x2²）（1+x1²）
=(x2-x1)(1-x1x2)/（1+x2²）（1+x1²）
（1+x2²）（1+x1²）＞0
在（-1,1）取x1,x2 且x1小于x2
x2-x1＞0 1-x1x2＞0
所以f(x2)-f(x1)=(x2-x1)(1-x1x2)/（1+x2²）（1+x1²）＞0
所以f(x)为增函数在（-1,1）上的