Question

数学——高一函数

1.已知常数a.b满足a>1>b>0.若f(x)=lg(a的x次方-b的x次方）。
求y=f(x)的定义域。
证明y=f(x)在定义域内为增函数。
若f(x)恰在区间（1，正无穷）内取正值，且f(2)=lg2。求a.b的大小。

Answer 1

由于f(x)=lg(a^x-b^x)是指数函数
所以应满足a^x-b^x＞0
即a^x＞b^x
又因为a＞1＞b＞0,则（a/b)^x＞1 【又1=(a/b)^0且a/b＞1】所以x＞0
即定义域为（0，+∞）

用定义法证明：
取任意的x1,x2∈（0，+∞）且x1＞x2
则f(x1)-f(x2)=lg(a^x1-b^x1)-lg(a^x2-b^x2)
=lg[(a^x1-b^x1)/(a^x2-b^x2)]
∵x1＞x2, a＞1＞b＞0
∴a^x1＞a^x2, -b^x2＞-b^x2
∴a^x1-b^x1＞a^x2-b^x2
∴(a^x1-b^x1)/(a^x2-b^x2)＞1
∴lg[(a^x1-b^x1)/(a^x2-b^x2)]＞0
即f(x1)-f(x2)＞0
f(x1)＞f(x2)
∴f(x)在定义域内是增函数

∵f(x）在（1，+∞）内取正值且f(2)=lg2
∴lg(a^2-b^2)=lg2
a^2-b^2=2 ∴a^2=b^2+2
∴a^2＞b^2
∴a＞b